Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh AE vuông góc BI


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
dchynh

dchynh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC, Gọi I là trung điểm AC, qua I vẽ đường thẳng vuông góc với BC, qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại E.

 

Chứng minh AE vuông góc với BI



#2
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC, Gọi I là trung điểm AC, qua I vẽ đường thẳng vuông góc với BC, qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại E.

 

Chứng minh AE vuông góc với BI

trịieif.jpg

Qua $C$ kẻ đường thẳng $d$ song song với $EA$ cắt $BA$ tại $F$.

Do $CE\parallel AB(\text{ cùng vuông góc với }AC)$, kết hợp với $FC\parallel AE$.

Ta suy ra được: $FCEA$ là hình bình hành.

Gọi $I'$ là giao điểm của $CA$ với $FE$.

Suy ra $I'$ là trung điểm của $CA$. Mặt khác $I'$ cũng là trung điểm của $EF$ nên $I\equiv I'$.

Hay $I,F,E$ thẳng hàng.

$\implies FE\bot CB$.

Xét tam giác $CFB$ có: $FE\bot BC;CA\bot FB;CA\cap EF=\left\{I\right\}$. Nên $I$ là trực tâm của $\triangle{CFB}$.

Suy ra: $BI\bot FC\implies BI\bot AE$.

Vậy ta có điều phải chứng minh. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 25-09-2018 - 22:14


#3
ILikeMath22042001

ILikeMath22042001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Thêm một cách khác nữa nhé !

Chứng minh được 2 tam giác CAB và ECI đồng dạng theo thứ tự trên (g-g)

=> AB/AC = CI/EC

mà CI = AI do I là trung điểm AC

=> AB/AC = AI/EC

=> AB/IA = AC/EC

=> tam giác IAB đồng dạng tam giác ECA theo thứ tự trên

=> góc AIB = góc CEA

Lúc này, nếu gọi J là giao điểm AE và BI ta sẽ có tứ giác EJIC nội tiếp

=> EJI = 90

=> AE vuông BI tại J

=> đpcm



#4
dchynh

dchynh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết
Xin lưu ý, bài này chỉ dùng định lý pitago để chứng minh thôi vì bài này ra cho học sinh lớp 7 làm, do đó chưa học hình bình hành và tam giác đồng dạng

#5
dchynh

dchynh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết

hinh.png

Chúng ta áp dụng bổ đề sau để chứng minh cho bài toán trên "Nếu một tứ giác có tổng bình phương các cạnh đối diện bằng nhau thì tứ giác đó có hai đường chéo vuông góc"

 

Gọi O là giao điểm của IE và CB

Xét tứ giác ICEB ta có IE Ʇ CB tại O

Nên $CE^{2}+IB^{2}=OC^{2}+OE^{2}+OI^{2}+OB^{2}=IC^{2}+EB^{2}=IA^{2}+EB^{2}$ (định lý Pitago)  (1)

Mặt khác ta có

$CE^{2}+IB^{2}=CE^{2}+IA^{2}+AB^{2}$ = $(CE^{2}+IC^{2})+AB^{2}$ = $IE^{2}+AB^{2}$ (định lý Pitago)  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $IA^{2}+EB^{2}=IE^{2}+AB^{2}$

Suy ra tứ giác IABE có hai đường chéo vuông góc hay IB Ʇ AE

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dchynh: 26-09-2018 - 10:54


#6
toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Banned
  • 628 Bài viết

CÓ CÁCH LỚP 9 KHÔNG 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh