Chủ đề này có 1 trả lời

[Kim Vu]

Cho số nguyên dương $n$.Tìm tất cả các hàm số $f:(1,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f(x^{n+1}+y^{n+1})=x^{n}f(x)+y^{n}f(y),\forall x,y>1$

Spoiler

Source:Định hướng BDHS năng khiếu Toán

[pcoVietnam02]

Cho số nguyên dương $n$.Tìm tất cả các hàm số $f:(1,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f(x^{n+1}+y^{n+1})=x^{n}f(x)+y^{n}f(y),\forall x,y>1$

Spoiler

Source:Định hướng BDHS năng khiếu Toán

 

Gợi ý:

-Gợi $P(x,y)$ là phép thế của phương trình hàm $f(x^{n+1}+y^{n+1})=x^{n}f(x)+y^{n}f(y)$

$P(x,x) \Rightarrow f(2x^{n+1})=2x^nf(x)$

-Từ phương trình hàm gốc ta có $2f(x^{n+1}+y^{n+1})=f(2x^{n+1})+f(2y^{n+1})$  , $x,y>1$.

Vì $x\rightarrow x^{n+1}$ song ánh nên ta có được$2f(x+y)=f(2x)+f(2y)$

-Chứng minh $2f(x)=f(2x)$

-Từ hai điều trên ta được hàm công tính, tức là $f(x+y)=f(x)+f(y)$

-Chứng minh rằng $f(2k)=2ka$, cũng như $f(2kx)=2kf(x)$  với $k>1, x\geq 1$ và $a$ là hằng số.

-Cuối cùng chứng minh $f(x)=ax$, với $x>1$, $a$ là hằng số.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 09-05-2021 - 21:35