Chủ đề này có 4 trả lời

[NguyenHoaiTrung]

Ngày 1

 

Ngày 2

Nguồn: Thầy Huỳnh Kim Linh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 27-09-2018 - 11:39

[Unrruly Kid]

Lời giải bởi Tran Quan

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Unrruly Kid: 27-09-2018 - 18:09

[Unrruly Kid]

Lời giải bởi Tran Quan

[NguyenHoaiTrung]

Ngày 2: Câu 1 a)  $(f(x^3+x))^2 \leq f(2x)+2$ (1) và $(f(-2x))^3 \geq 3f(-x^3-x)+2$ (2)

$P_{(1)} (0) : f(0)^2 \leq f(0) +2 <=> (f(0)-2)(f(0)+1) \leq 0 <=> -1 \leq f(0) \leq 2   $

$P_{(2)} (0) : f(0)^3 \geq 3f(0) +2 <=>(f(0)+1)^2(f(0)-2) \geq 0 <=> f(0)=-1 $ hoặc $f(0)>=2$ 

$=> f(0)=-1$ hoặc $f(0)=2$

Tương tự, ta cũng có $ f(1)=1$ hoặc $f(1)=2$; $ f(-1)=1$ hoặc $f(-1)=2$

Theo nguyên lí Dirichlet, ta có 2 trường hợp bằng nhau, nên hàm $f(x)$ không là đơn ánh .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 27-09-2018 - 22:38

[nguyenhaan2209]

Câu $1$: a) Ta tìm đc CTTQ của $(a_n) là a_n=(\frac{3+\sqrt5}{2})^n+(\frac{3-\sqrt5}{2})^n$

Dễ thấy dãy tổng tăng, khi $n$ ra vô cùng ta có $lim(s_n)=\sum\frac{(3-\sqrt5)^{2n}+(3+\sqrt5)^{2n}+2}{7^n}=\sum \frac{(7+3\sqrt5)^n}{14^n}=\frac{1-(\frac{7+3\sqrt5}{14})^n}{7-3\sqrt5}<\frac{142}{3}$ (BĐT cuối đúng bằng biến đổi tương đương) do đó ta có ĐPCM ở câu $a$

$b)$ Ta có hệ thức $a_{n-1}a_{n+1}-a_n^2=5$ mà dễ quy nạp dãy tăng nên $a_na_{n+1}>a_{n-1}a_{n+1}=a_n^2+5$ đồng thời cũng quy nạp được $a_n^2.(a_n^2+5)>7^n$ nên ta có $\sum \frac{1}{a_na_{n+1}}< \sum \frac{1}{a_n^2+5}< \sum \frac{a_n^2}{7^n}<\sum \frac{142}{3}$ (theo câu a). Dãy tăng bị chặn trên nên có GHHH và ta có ĐPCM

Câu $2$: a) Thay $b,c$ vào theo $a$ ta chỉ cần cm pt Q bậc $26$ có nghiệm (loại $0$) điều này đúng khi thay $x=1, x=2$ thì $Q(1)>0, Q(2)<0$ nên theo Rolle $PT$ có nghiệm 

$b)$ Giả sử phản chứng, khi đó điều kiện đễ đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $S_1=S_2=S_3$, kí hiệu const là bằng nhau. Ta thấy bản chất bài toán là giải PT đối xứng $3$ ẩn $a,b,c$. Ta đặt $a=2cosx, b=2cosy, c=2cosz$, từ đó thay vào được $cosx=cos27x$ nên $x=k\pi/13$ hoặc $k\pi/14$, loại TH $k=0$ trùng nhau ở cả $2$ TH thấy $deg=27$ mà có đúng $27$ nghiệm nên có đúng $27$ nghiệm. Xét hàm số $f(t)=cost+cos3t+cos9t$ nếu tồn tại $f(i_1)=f(i_2)=f(i_3)$ như giả thiết thì theo $Dirichlet$ thì tồn tại $2$ số $i_j, i_k$ thuộc cùng ps có mẫu $13$ hoặc $14$. WLOG g/s là $13$ thì chú ý xét tử số mod $13$ (loại $0,13$): $f(1)=f(3)=f(9), f(2)=f(6)=f(8), f(7)=f(10)=f(11), f(4)=f(5)=f(12)$ và dễ ktra $4$ giá trị này pb nên từ đó có $2$ số cùng thuộc $1$ tập, khi đó tồn tại $2$ số $cosm=cosn$ tức $a_u=b_v$ khi đó trái với giả sử $9$ số đôi một phân biệt, tương tự với TH mod $14$ ta ghép cặp $f(1)=f(3)=f(11), f(2)=f(6)=f(8), f(4)=f(10)=f(12), f(5)=f(9)=f(13)$ bỏ $f(7)=0$ thì ta cũng có ĐPCM

Câu $4$: 

$a)$ Thay giá trị $1,2$ vào dùng Dirichlet dễ có hàm không đơn ánh

$b)$ Giả sử tồn tại $f(2x)<-1$ khi đó từ $(1)$ có $f(x^3+x)^2<1$ và từ $(2)$ thì $f(x^3+x)<-1$ từ đây thấy ngay vô lí

Câu $7$:

$a)$ Ta giải quyết bằng cách chọn $4$ số sao cho không có điểm bất động, bằng xét TH ta được kq là $10$. Mà có $41$ lớp đồng dư module $41$ nên kq là $10^{41}$

$b)$ Sử dụng luật thuận nghịch Gauss và chú ý $41$ có dạng $8k+1$ nên $(2/41)=1$ từ đó ta tìm đc $20$ scp mod $41$ và $20$ số ko cp mod $41$. Ta giải quyết $41$ số đầu nhận giá trị từ $1$ đến $41$, $123$ số sau đơn thuần là đồng dư với $41$ số đầu theo mod $41$. Ta chỉ ra chu trình sau: $(2,6,13,12,11,7,14,28,15,17,19,22,34,29,24,35,27,26,30,38,36,31,23,37,1,32,8,5,4,10,18,21,33,40,20,39,9,35,223,16,41)$ thỏa mãn đề bài và câu trả lời là tồn tại (Tính toán khá mệt)

Câu $8$: Đưa mối quan hệ của bài toán lên đồ thị. Nối $2$ người quen nhau bởi $1$ cạnh

Gỉa thiết cho không có $3$ người đôi một quen nhau tức không có tam giác nên áp dụng định lí $Mantel - Turan$ ta có số cạnh không vượt quá $[100^2/4]=2500$

Mặt khác theo bổ đề bắt tay có $\sum d(i) = 1250$ mà do $d(i) \geq 1 \forall i=1,100$

Giải $BPT$ ta được $n>49$ nên từ đó ta tìm được max $d(i)=49$. Phần xây dựng dùng thuật toán tham ăn để nối các cạnh từ đó ta có ĐPCM   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 30-09-2018 - 21:08