Chủ đề này có 6 trả lời

[Lao Hac]

Đề thi CLB HSG quận Hoàn Kiếm

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lao Hac: 27-09-2018 - 21:08

[ThinhThinh123]

Câu 1b: 

Ta có: $2019^{2019}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...a_{n}$

Và dễ chứng minh:

$a_{1}^3\equiv a_{1}(mod 6)$ ( do $a_{1}^3-a_{1}=(a_{1}-1).a_{1}.(a_{1}+1)$ chia hết cho 6)

Tương tự ta chứng minh được:

$a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3 \equiv a_{1}+a_{2}+a_{3}+...a_{n}( mod 6)$

=> $a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3 \equiv 2019^{2019} ( mod 6)$

Ta đi chứng minh: $2019^n \equiv 3( mod 6 )$

Ta có: $2019^n \equiv (2013+3)^n \equiv 3^n ( mod 6 )$

Vì $3^n$ chia hết cho 3. Ta đặt: $3^n=3k$

Mà $3^n \equiv 1 (mod 2)<=> 3k \equiv 1 (mod 2)=> k \equiv 1 (mod 2)$

Đặt $k=2m+1$=> $2019^n \equiv (2013+3)^n \equiv 3^n \equiv 3(2m+1) \equiv 3 (mod 6)$

Vậy $2019^{2019} \equiv 3(mod 6)$ 

Suy ra $a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3 \equiv 3( mod 6)$

Vậy $a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3$ không chia hết cho 6 ( vì nó chia 6 dư 3 )

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThinhThinh123: 28-09-2018 - 05:46

[Lao Hac]

Câu 1b: 

Ta có: $2019^{2019}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...a_{n}$

Và dễ chứng minh:

$a_{1}^3\equiv a_{1}(mod 6)$ ( do $a_{1}^3-a_{1}=(a_{1}-1).a_{1}.(a_{1}+1)$ chia hết cho 6)

Tương tự ta chứng minh được:

$a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3 \equiv a_{1}+a_{2}+a_{3}+...a_{n}( mod 6)$

=> $a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3 \equiv 2019^{2019} ( mod 6)$

Ta đi chứng minh: $2019^n \equiv 3( mod 6 )$

Ta có: $2019^n \equiv (2013+3)^n \equiv 3^n ( mod 6 )$

Vì $3^n$ chia hết cho 3. Ta đặt: $3^n=3k$

Mà $3^n \equiv 1 (mod 2)<=> 3k \equiv 1 (mod 2)=> k \equiv 1 (mod 2)$

Đặt $k=2m+1$=> $2019^n \equiv (2013+3)^n \equiv 3^n \equiv 3(2m+1) \equiv 3 (mod 6)$

Vậy $2019^{2019} \equiv 3(mod 6)$ 

Suy ra $a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3 \equiv 3( mod 6)$

Vậy $a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3$ không chia hết cho 6 ( vì nó chia 6 dư 3 )

Vậy mà mình không làm được đó bạn ra khỏi phòng ms nghĩ ra, tiếc quá

Mình giải câu 5 :

Do quận không cho dùng delta quá kiến thức chung của SGK tại thời điểm hiện tại nên ta làm như sau

$2x^2+4x+2+ 3y^2 =21$

$=> 2(x+1)^2+3y^2=21$

Đặt $(x+1)^2=a; y^2=b$ ( $a,b\epsilon N; 2a,3b\leq 21$ )

Vậy $2a+3b=21$

Dễ thấy $a$ phải chia hết cho 3 mà $2a$ không vượt quá 21 nên $a=0;3;6;9$

Lại có $a$ chính phương nên a = 0 hoặc a = 9

a = 0 thì b = 7 ( loại )

a = 9 thì b = 1 ( thỏa mãn ) => dễ tìm được x,y

Nói chung câu 5 là một câu dễ nhưng nhiều học sinh bỏ vì tâm lý làm bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lao Hac: 28-09-2018 - 20:27

[hoctoanthcs]

Câu 1b: 

Ta có: $2019^{2019}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...a_{n}$

Và dễ chứng minh:

$a_{1}^3\equiv a_{1}(mod 6)$ ( do $a_{1}^3-a_{1}=(a_{1}-1).a_{1}.(a_{1}+1)$ chia hết cho 6)

Tương tự ta chứng minh được:

$a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3 \equiv a_{1}+a_{2}+a_{3}+...a_{n}( mod 6)$

=> $a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3 \equiv 2019^{2019} ( mod 6)$

Ta đi chứng minh: $2019^n \equiv 3( mod 6 )$

Ta có: $2019^n \equiv (2013+3)^n \equiv 3^n ( mod 6 )$

Vì $3^n$ chia hết cho 3. Ta đặt: $3^n=3k$

Mà $3^n \equiv 1 (mod 2)<=> 3k \equiv 1 (mod 2)=> k \equiv 1 (mod 2)$

Đặt $k=2m+1$=> $2019^n \equiv (2013+3)^n \equiv 3^n \equiv 3(2m+1) \equiv 3 (mod 6)$

Vậy $2019^{2019} \equiv 3(mod 6)$ 

Suy ra $a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3 \equiv 3( mod 6)$

Vậy $a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3$ không chia hết cho 6 ( vì nó chia 6 dư 3 )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctoanthcs: 23-10-2018 - 14:22

[hoctoanthcs]

Bạn nào giải giúp câu 3b với ạ

 

Mình đã giải được rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctoanthcs: 23-10-2018 - 14:23

[Lao Hac]

Bạn nào giải giúp câu 3b với ạ

 

Mình đã giải được rồi

3b bạn nhân tung cái ngoặc trong căn ra rồi thay 1 vào ( theo điều kiện )

[ngngnhdan]

Ai giúp em bài 4c với ạ, em cảm ơn nhiều hic