Đến nội dung

Hình ảnh

Đề Thi Chọn Đội Tuyển HSG Lớp 12 THPT Thành Phố Hà Nội Năm 2018-2019


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

42692946_2320334707981690_7472735459970383872_n.jpg
Ảnh : Thầy Nguyễn Lê Phước


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 28-09-2018 - 17:13

WangtaX

 


#2
BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

Bài 1 : $d_{1},d_{2},d_{3},...,d_{k}$ là tất cả các ước nguyên dương của n được sắp xếp theo thứ tự tăng dần . Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất $\left\{\begin{matrix} d_{5}-d_{3}=40\\ 7d_{5}+8d_{7}=3n \end{matrix}\right.$

 

Ta có : $d_{5} 7d_{7}<3n<15d_{7} => \frac{7}{3}d_{7}n=\left \{ 4d_{7},3d_{7} \right \}$ ( Do $n\vdots d_{7}$)<5d_{7}=>{7}>

Trường hợp 1 : $n=3d_{7}$

$=>\left\{\begin{matrix} n\vdots 3\\ 7d_{5}=d_{7} \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} n\vdots 3\\ n\vdots 7 \end{matrix}\right.$

Nếu $d_{2}=2=> d_{3}=3 ,d_{5}=43$  (Loại do $d_{4}$ phải nhận 2 giá trị 6 và 7 )

Nếu $d_{2}\neq 2 =>d_{2}=3=> d_5> 43. $

$n\vdots 7 => d_3=7 ;d_4=21$

$=> d_5=47$$=> d_7=7d_5=329 => n=987$

Trường hợp 2 : Tương tự 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 28-09-2018 - 17:36

WangtaX

 


#3
BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

42673221_2320333904648437_7902316169065922560_n.jpg

Câu Hình từ thầy Nguyễn Lê Phước : 


WangtaX

 


#4
nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết

Câu $2$:

Từ giả thiết thì $x_1, x_2, x_3$ có số dư khác nhau khi chia cho $p$

Xét trên vành $Z_{p}$ thì $f(x)=ax^2+x(b+1)+c$

Mặt khác $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=0$ mà $f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)(ax_1+ax_2+b+1)$ suy ra $ax_1+ax_2+b+1 \vdots p$

Tương tự thì $ax_2+ax_3+b+1$ chia hết cho $p$ do đó $a(x_1-x_3) \vdots  p$ nên $a \vdots p$

Lại có $f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)(ax_1+ax_2+b+1) \vdots p$ nên $b+1 \vdots p$

Từ đó $c \vdots p$ nên rõ ràng $abc+ac=ac(b+1) \vdots  p^3$ nên ta có ĐPCM

 

Câu $3$:

Ta có các nhận xét sau: $f_n(x) \geq 1 \forall x \geq 0$ , $f_n(x) \geq 1 \forall x \leq -1$ và $f_n(x) <1 \forall x \in (-1;0)$
Từ đó $min f_n(x) \in (-1;0)$ mà $f_n(x)=\frac{1-x^{2n+1}}{1-x}$ nên $f_n'(x)=\frac{2nx^{2n+1}-(2n+1)x^{2n}+1}{(1-x)^2}$
Xét hàm số $g_n(x)=2nx^{2n+1}-(2n+1)x^{2n}+1 \forall x \in(-1;0)$ có $g_n(x)'=2n(2n+1)x^{2n-1}(x-1)>0 \forall x \in (-1;0)$
Do vây $g$ đồng biến mà $g(-1)<0$ và $g(0)=1$ nên $g_n(x)$ có đúng $1$ nghiệm $x_n$ trên $(-1;0)$          
Lập bảng biến thiên, thấy $f_n(x)$ đạt GTNN tại 1 điểm duy nhất này
Gọi dãy giá trị nhỏ nhất của hàm số $f_n$ là $s_n$
Với mọi $x \in (-1;0)$ ta có $f_{n+1}(x)=f_n(x)+x^{2n+1}(x+1) \leq f_n(x) \rightarrow s_{n+1}=f_{n+1}(x_{n+1}) \leq f_n(x_{n+1}) \leq f_n(x_{n+1}) \leq f_n(x_n)=s_n$
Từ đó dãy $s_n$ giảm mặt khác $f_n=f_n(x_n)=\frac{1-x_n^{2n+1}}{1-x_n} \geq \frac{1}{1-x_n}>\frac{1}{2}$
Dãy $s_n$ giảm và bị chặn dưới nên tồn tại GHHH, đặt $L=lim(s_n)$ thay vào ta được $L=\frac{1}{2}$ vậy $lim f_n(x_n)=\frac{1}{2}$
 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 28-09-2018 - 21:00


#5
nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết

Câu $5$

$a)$ Đặt $x_i=\frac{q_i}{s_i} \forall i=\overline{1,n}$, giả thiết bài toán trở thành:

$x_i+\frac{1}{p_i}=\frac{\prod q_i + \prod s_i}{\prod_{j\neq i}^{n}q_j.s_i} \in Z^{+} \forall i=\overline{1,n}$

Từ đó nhân tất cả các phân số lại, theo nhị thức Newton sau khi khai với tử số đối xứng, dễ dàng có $\prod s_i \vdots \prod q_i \vdots \prod s_i$ nên $\prod s_i =\prod q_i$ nên $\prod x_i=1$ và ta có ĐPCM

$b)$ Từ câu a dễ có $s_i=2 \forall i=\overline{1,n}$, bài toán quy về tim số bộ nghiệm phân biệt của pt: $\prod q_i=2^n$

Do VP là lũy thừa của $2$ nên các phần tử ở VT có dạng $2^{a_i}$, bài toán lại quy về tìm số nghiệm không âm của pt: $a_1+...+a_n=n$

Đây chính là bài toán đêm kẹo Euler quen thuộc, đáp số của nó là $C(n-1,2n-1)$ và ta hoàn tất cm 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 28-09-2018 - 21:12


#6
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

https://khuongworldo...c-trong-e.html 

Một số phân tích của mình cho bài này


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh