Đến nội dung


Hình ảnh

Phân thớ phổ dụng trên đa tạp Grassmann

đa tạp phân thớ

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1554 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Algebraic Topology
    Algebraic Geometry
    Recently trying to grasp derived functors of non-additive functors on abelian categories.

Đã gửi 29-09-2018 - 00:55

Ta định nghĩa đa tạp Stiefel $V_{k}(\mathbb{R^{n}}) = V(k,n)$ là đa tạp chứa tất cả các ma trận trực giao cỡ $n \times k$ và có hạng $k$ trên một trường $\mathbb{R},\mathbb{C}$ ( ở đây ta xét thực là đủ ) hoặc tương đương là tập các đơn cấu tuyến tính từ $\mathbb{R^{k}} \to \mathbb{R^{n}}, k \leq n$. Topo trên đa tạp Stiefel cho bởi topo con thừa hưởng tử tập các ma trận $n \times k$, ở đây các ma trận $n \times k$ nhận topo từ $\mathbb{R}^{n \times k}$.

Tiếp theo ta định nghĩa đa tạp Grassmann $Gr_{k}(\mathbb{R}^{n})=Gr(k,n)$ là tập tất cả các không gian con tuyến tính $k$ chiều của $\mathbb{R}^{n}$. Khi đó có một song ánh $V(k,n) \to Gr(k,n)$ gửi mỗi hệ trực chuẩn ( các hàng của mỗi ma trận trong $V(k,n)$ ) đến không gian con sinh bởi hệ này. Nó thực sự là một toàn ánh theo phép trực giao hóa Gram-Schmidt. Như vậy topo trên đa tạp Grassmann có thể nhận topo thương phổ dụng làm cho ánh xạ này liên tục.

Đặt $E_{k}(\mathbb{R^{n}}) = E(k,n) = \left \{ (W,\omega): W \in Gr(k,n), \omega \in W \subset \mathbb{R}^{n} \right \}$ khi đó phép chiếu $(W,\omega) \to W$ biến $E(k,n) \to Gr(k,n)$ thành một phân thớ vector. Lấy giới hạn ta có:

$$E_{k}=E(k,\infty)= E_{k}(\mathbb{R}^{\infty}) = \lim E_{k}(\mathbb{R}^{n})$$

$$G_{k}= Gr(k,\infty) = G_{k}(\mathbb{R}^{\infty}) = \lim Gr_{k}(\mathbb{R}^{n})$$

$$V_{k}=V(k,\infty)= V_{k}(\mathbb{R}^{\infty}) = \lim V_{k}(\mathbb{R}^{n})$$

Cho ta một phân thớ vector $p: E_{k} \to G_{k}$ mà theo Hatcher là một phân thớ phổ dụng, tức là mọi phân thớ vector $k$ chiều trên không gian topo $X$ đều là pull-back của $p: E_{k} \to G_{k}$. Hơn nữa ánh xạ pull-back định nghĩa một song ánh tập hợp:

$$[X,G_{k}] \to Vect^{k}(X)$$

Nhưng tính phổ dụng của $G_{k}$ còn có thể nhìn theo một góc độ khác, nếu ta gọi $T_{k}(\mathbb{R}^{n})$ là các ma trận cỡ $(n\times k)$ có hạng $k$ và lấy giới hạn $T_{k}(\mathbb{R})^{\infty}$, ta có thể kiểm tra $T(k,\infty),V(k,\infty)$ có tính chất cầu ( aspherical ) ( $\pi_{n}T(k,\infty) = 0 \forall n \geq 0$ ), hơn nữa nó nhận một tác động tự do, transitive của nhóm Lie compact $GL(k,\mathbb{K})$ và $O(k)$ ( resp, ) nên có một $GL(k,\mathbb{R})$ - phân thớ phổ dụng và một $O(k)$ - phân thớ phổ dụng: ( lần lượt )

$$T(k,\infty) \to T(k,\infty)/GL(k,\mathbb{R})= Gr(k,\infty)$$

$$V(k,\infty) \to T(k,\infty)/O(k)=Gr(k,\infty)$$

Như vậy $Gr(k,\infty) = BGL(k,\mathbb{R}) = BO(k)$ nên $Vect^{k}(X) = Prin_{GL(k,\mathbb{R})}(X) = [X,BGL(k,\mathbb{R})] = [X, Gr_{k}(\mathbb{R}^{\infty})]=[X,BO(k)]=Prin_{O(k)}(X)$. Câu hỏi của mình là hai phân thớ $E(k,\infty) \to G(k,\infty)$ và $T(k,\infty) \to Gr(k,\infty)$ đều là phổ dụng. Liệu có một cách nhìn rõ ràng nào về mối liên hệ giữa $E(k,\infty)$ và $T(k,\infty)$ không?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 29-09-2018 - 11:55

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh