Đến nội dung

Hình ảnh

Phân thớ phổ dụng trên đa tạp Grassmann

đa tạp phân thớ

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Ta định nghĩa đa tạp Stiefel $V_{k}(\mathbb{R^{n}}) = V(k,n)$ là đa tạp chứa tất cả các ma trận trực giao cỡ $n \times k$ và có hạng $k$ trên một trường $\mathbb{R},\mathbb{C}$ ( ở đây ta xét thực là đủ ) hoặc tương đương là tập các đơn cấu tuyến tính từ $\mathbb{R^{k}} \to \mathbb{R^{n}}, k \leq n$. Topo trên đa tạp Stiefel cho bởi topo con thừa hưởng tử tập các ma trận $n \times k$, ở đây các ma trận $n \times k$ nhận topo từ $\mathbb{R}^{n \times k}$.

Tiếp theo ta định nghĩa đa tạp Grassmann $Gr_{k}(\mathbb{R}^{n})=Gr(k,n)$ là tập tất cả các không gian con tuyến tính $k$ chiều của $\mathbb{R}^{n}$. Khi đó có một song ánh $V(k,n) \to Gr(k,n)$ gửi mỗi hệ trực chuẩn ( các hàng của mỗi ma trận trong $V(k,n)$ ) đến không gian con sinh bởi hệ này. Nó thực sự là một toàn ánh theo phép trực giao hóa Gram-Schmidt. Như vậy topo trên đa tạp Grassmann có thể nhận topo thương phổ dụng làm cho ánh xạ này liên tục.

Đặt $E_{k}(\mathbb{R^{n}}) = E(k,n) = \left \{ (W,\omega): W \in Gr(k,n), \omega \in W \subset \mathbb{R}^{n} \right \}$ khi đó phép chiếu $(W,\omega) \to W$ biến $E(k,n) \to Gr(k,n)$ thành một phân thớ vector. Lấy giới hạn ta có:

$$E_{k}=E(k,\infty)= E_{k}(\mathbb{R}^{\infty}) = \lim E_{k}(\mathbb{R}^{n})$$

$$G_{k}= Gr(k,\infty) = G_{k}(\mathbb{R}^{\infty}) = \lim Gr_{k}(\mathbb{R}^{n})$$

$$V_{k}=V(k,\infty)= V_{k}(\mathbb{R}^{\infty}) = \lim V_{k}(\mathbb{R}^{n})$$

Cho ta một phân thớ vector $p: E_{k} \to G_{k}$ mà theo Hatcher là một phân thớ phổ dụng, tức là mọi phân thớ vector $k$ chiều trên không gian topo $X$ đều là pull-back của $p: E_{k} \to G_{k}$. Hơn nữa ánh xạ pull-back định nghĩa một song ánh tập hợp:

$$[X,G_{k}] \to Vect^{k}(X)$$

Nhưng tính phổ dụng của $G_{k}$ còn có thể nhìn theo một góc độ khác, nếu ta gọi $T_{k}(\mathbb{R}^{n})$ là các ma trận cỡ $(n\times k)$ có hạng $k$ và lấy giới hạn $T_{k}(\mathbb{R})^{\infty}$, ta có thể kiểm tra $T(k,\infty),V(k,\infty)$ có tính chất cầu ( aspherical ) ( $\pi_{n}T(k,\infty) = 0 \forall n \geq 0$ ), hơn nữa nó nhận một tác động tự do, transitive của nhóm Lie compact $GL(k,\mathbb{K})$ và $O(k)$ ( resp, ) nên có một $GL(k,\mathbb{R})$ - phân thớ phổ dụng và một $O(k)$ - phân thớ phổ dụng: ( lần lượt )

$$T(k,\infty) \to T(k,\infty)/GL(k,\mathbb{R})= Gr(k,\infty)$$

$$V(k,\infty) \to T(k,\infty)/O(k)=Gr(k,\infty)$$

Như vậy $Gr(k,\infty) = BGL(k,\mathbb{R}) = BO(k)$ nên $Vect^{k}(X) = Prin_{GL(k,\mathbb{R})}(X) = [X,BGL(k,\mathbb{R})] = [X, Gr_{k}(\mathbb{R}^{\infty})]=[X,BO(k)]=Prin_{O(k)}(X)$. Câu hỏi của mình là hai phân thớ $E(k,\infty) \to G(k,\infty)$ và $T(k,\infty) \to Gr(k,\infty)$ đều là phổ dụng. Liệu có một cách nhìn rõ ràng nào về mối liên hệ giữa $E(k,\infty)$ và $T(k,\infty)$ không?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 29-09-2018 - 11:55

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh