Đến nội dung

Hình ảnh

$\lim_{n \to +\infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{u_{k}}{u_{k+1}-1}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
anhtuan962002

anhtuan962002

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Cho $(u_{n}):\left\{\begin{matrix} u_{1}=a>1\\ u_{n+1}=u_{n}^{2}, n\geq 1 \end{matrix}\right.$ Tính 

$\lim_{n \to +\infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{u_{k}}{u_{k+1}-1}$



#2
caovannct

caovannct

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 529 Bài viết

Cho $(u_{n}):\left\{\begin{matrix} u_{1}=a>1\\ u_{n+1}=u_{n}^{2}, n\geq 1 \end{matrix}\right.$ Tính 

$\lim_{n \to +\infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{u_{k}}{u_{k+1}-1}$

Từ giả thiết ta có $\frac{u_{k}}{u_{k+1}-1}=\frac{1}{u_{k}-1}-\frac{1}{u_{k+1}-1}$

suy ra $\sum \left ( \frac{u_{k}}{u_{k+1}-1} \right )=\frac{1}{u_{1}-1}-\frac{1}{u_{k+1}-1}$

Rõ ràng dãy số đã cho là dãy số tăng và không bị chặn trên nên $lim\sum \left ( \frac{u_{n}}{u_{n+1}-1} \right )=\frac{1}{u_{1}-1}=\frac{1}{a-1}$



#3
DinhXuanHung CQB

DinhXuanHung CQB

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Cho $(u_{n}):\left\{\begin{matrix} u_{1}=a>1\\ u_{n+1}=u_{n}^{2}, n\geq 1 \end{matrix}\right.$ Tính 

$\lim_{n \to +\infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{u_{k}}{u_{k+1}-1}

Mình xin phép trình bày kỹ hơn

$U_n+1-U_n=U_n^2-U_n=U_n(U_n-1)>0$ nên $U_n$ là dãy tăng

Giả sử $(U_n)$ bị chặn trên. Khi đó tồn tại giới hạn của $(U_n)$ gọi là $l$ => $l=1$ vô lí vì $l>1$ nên $(U_n)$ không bị chặn trên

có $\frac{Un}{U_n+1-1}=\frac{U_n+1-U_n}{(U_n-1)(U_n+1-1}=\frac{1}{U_n1-1}-\frac{1}{U_n+1}$

=> $\sum \left ( \frac{u_{k}}{u_{k+1}-1} \right )=\frac{1}{u_{1}-1}-\frac{1}{u_{k+1}-1}=S_n$

$lim$ $S_n$ = $\frac{1}{u_{1}-1}=\frac{1}{a-1}$


Little Homie





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh