2 replies to this topic

[ThuThao36]

$ 2017^{x}+2019^{x}=2.2018^{x}$

$2.4^{\frac{1}{x}}+6^{\frac{1}{x}}=9$

Edited by ThuThao36, 30-09-2018 - 20:18.

[Frosty Flame]

$ 2017^{x}+2019^{x}=2.2018^{x}$

$2.4^{\frac{1}{x}}+6^{\frac{1}{x}}=9$

Điều kiện của $x$ là gì?

[NAT]

$ 2017^{x}+2019^{x}=2.2018^{x}$

Nhận xét: $x=0$; $x=1$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Gọi $x_0$ là nghiệm của phương trình đã cho, ta được: 

${{2017}^{{{x}_{0}}}}+{{2019}^{{{x}_{0}}}}={{2.2018}^{{{x}_{0}}}}\Leftrightarrow {{2019}^{{{x}_{0}}}}-{{2018}^{{{x}_{0}}}}={{2018}^{{{x}_{0}}}}-{{2017}^{{{x}_{0}}}}$ (2)

Xét hàm số $f(t)={{(t+1)}^{{{x}_{0}}}}-{{t}^{{{x}_{0}}}}$, ta có $(2)\Leftrightarrow f(2018)=f(2017)$

Vì $f(t)$ liên tục trên [2017;2018] và có đạo hàm trong khoảng (2017;2018), do đó theo định lí Rolle tồn tại $c\in \text{(2017;2018)}$ sao cho: $f'(c)=0\Rightarrow {{x}_{0}}[{{(c+1)}^{{{x}_{0}}-1}}-{{c}^{{{x}_{0}}-1}}]=0 \Leftrightarrow x_0=0$ hoặc $x_0=1$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = 0$ và $x = 1$.

Edited by NAT, 08-10-2018 - 19:25.