1 reply to this topic

[anhquannbk]

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $A^k=0$ với $k$ nguyên dương cho trước. Ký hiệu

 

$X=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$

Chứng minh rằng hai phương trình $AX=0$ và $(A+A^2+...+A^n)X=0$ đương đương.

[An Infinitesimal]

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $A^k=0$ với $k$ nguyên dương cho trước. Ký hiệu

 

$X=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$

Chứng minh rằng hai phương trình $AX=0$ và $(A+A^2+...+A^n)X=0$ đương đương.

 

 

Từ giả thiết, ta có $I-A$ khả nghịch.

Ta có

$(A+A^2+...+A^n)X=0 \iff (I+A+A^2+...+A^n)X=X.$

$\iff (I-A)(I+A+A^2+...+A^n)X=(I-A)X.$

$\iff (I-A^{n+1})X=X-AX$

($A^{n+1}=0$)

$\iff AX=0.$