Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $A^k=0$ với $k$ nguyên dương cho trước. Ký hiệu
$X=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$
Chứng minh rằng hai phương trình $AX=0$ và $(A+A^2+...+A^n)X=0$ đương đương.
Chứng minh rằng hai phương trình $AX=0$ và $(A+A^2+...+A^n)X=0$ đương đương.
Bắt đầu bởi anhquannbk, 04-11-2018 - 22:19
#2
Đã gửi 04-11-2018 - 23:04
An Infinitesimal
-
- Thành viên
-
- 1803 Bài viết
Đại úy
Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $A^k=0$ với $k$ nguyên dương cho trước. Ký hiệu
$X=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$
Chứng minh rằng hai phương trình $AX=0$ và $(A+A^2+...+A^n)X=0$ đương đương.
Từ giả thiết, ta có $I-A$ khả nghịch.
Ta có
$(A+A^2+...+A^n)X=0 \iff (I+A+A^2+...+A^n)X=X.$
$\iff (I-A)(I+A+A^2+...+A^n)X=(I-A)X.$
$\iff (I-A^{n+1})X=X-AX$
($A^{n+1}=0$)
$\iff AX=0.$
Đời người là một hành trình...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
