Đến nội dung

Hình ảnh

$$a^{\,2}+ 6\,ab+ 9\,b^{\,2}= s^{\,2}a^{\,2}+ s^{\,2}b^{\,2}$$

số học phương trình nghiệm nguyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Với:

$$a^{\,2}+ 6\,ab+ 9\,b^{\,2}= s^{\,2}a^{\,2}+ s^{\,2}b^{\,2}$$

Chứng minh phương trình trên chỉ có nghiệm nguyên $\left ( a,\,b,\,s \right )= \left ( 3,\,4,\,3 \right )$.



#2
dat102

dat102

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết

Với:

$$a^{\,2}+ 6\,ab+ 9\,b^{\,2}= s^{\,2}a^{\,2}+ s^{\,2}b^{\,2}$$

Chứng minh phương trình trên chỉ có nghiệm nguyên $\left ( a,\,b,\,s \right )= \left ( 3,\,4,\,3 \right )$.

Nghiệm nguyên dương thì đúng hơn. Vì nếu $(a,b,c)$ là nghiệm của phương trình thì $(-a,-b,-c)$ cũng là nghiệm của phương trình.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a,b,c$ không âm.

$(a+3b)^2 = s^2(a^2+b^2)$

Suy ra $a^2+b^2$ là số chính phương.

Ta có thể tim được $a=m^2-n^2$ và $b=2mn$

Thế vào giả thiết, ta có $m^2-n^2+6mn=s(m^2+n^2)$

Bằng cách đánh giá bđt, ta có $s \le 4$

Xét các trường hợp ta tìm được $s$, từ đó tìm được $m,n$ rồi $a,b$.

Ps: Mình hơi lười gõ, bạn chịu khó tự làm nhé.


:ukliam2:  $\sqrt{MF}$  :ukliam2: 


#3
dat102

dat102

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết

Việc giải phương trình Pytagoras, bạn có thể làm thế này:

$a^2+b^2=c^2$ ($a,b,c$ nguyên dương)

$u^2+v^2=1$ với $u=\frac{a}{c}$ và $v=\frac{b}{c}$

$u^2=(1-v)(1+v)$

$\frac{u}{1-v}=\frac{1+v}{u}=\frac{m}{n}$

Bạn tính được $u,v$ theo $m,n$ tức là nghiệm của pt.


:ukliam2:  $\sqrt{MF}$  :ukliam2: 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, phương trình nghiệm nguyên

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh