Với:
$$a^{\,2}+ 6\,ab+ 9\,b^{\,2}= s^{\,2}a^{\,2}+ s^{\,2}b^{\,2}$$
Chứng minh phương trình trên chỉ có nghiệm nguyên $\left ( a,\,b,\,s \right )= \left ( 3,\,4,\,3 \right )$.
Với:
$$a^{\,2}+ 6\,ab+ 9\,b^{\,2}= s^{\,2}a^{\,2}+ s^{\,2}b^{\,2}$$
Chứng minh phương trình trên chỉ có nghiệm nguyên $\left ( a,\,b,\,s \right )= \left ( 3,\,4,\,3 \right )$.
Với:
$$a^{\,2}+ 6\,ab+ 9\,b^{\,2}= s^{\,2}a^{\,2}+ s^{\,2}b^{\,2}$$
Chứng minh phương trình trên chỉ có nghiệm nguyên $\left ( a,\,b,\,s \right )= \left ( 3,\,4,\,3 \right )$.
Nghiệm nguyên dương thì đúng hơn. Vì nếu $(a,b,c)$ là nghiệm của phương trình thì $(-a,-b,-c)$ cũng là nghiệm của phương trình.
Không mất tính tổng quát, giả sử $a,b,c$ không âm.
$(a+3b)^2 = s^2(a^2+b^2)$
Suy ra $a^2+b^2$ là số chính phương.
Ta có thể tim được $a=m^2-n^2$ và $b=2mn$
Thế vào giả thiết, ta có $m^2-n^2+6mn=s(m^2+n^2)$
Bằng cách đánh giá bđt, ta có $s \le 4$
Xét các trường hợp ta tìm được $s$, từ đó tìm được $m,n$ rồi $a,b$.
Ps: Mình hơi lười gõ, bạn chịu khó tự làm nhé.
$\sqrt{MF}$
Việc giải phương trình Pytagoras, bạn có thể làm thế này:
$a^2+b^2=c^2$ ($a,b,c$ nguyên dương)
$u^2+v^2=1$ với $u=\frac{a}{c}$ và $v=\frac{b}{c}$
$u^2=(1-v)(1+v)$
$\frac{u}{1-v}=\frac{1+v}{u}=\frac{m}{n}$
Bạn tính được $u,v$ theo $m,n$ tức là nghiệm của pt.
$\sqrt{MF}$
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình →
$x^{y}-x=y^{x}-y$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 08-02-2024 phương trình nghiệm nguyên |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh