Đến nội dung

Hình ảnh

$f(x^2+f(y))=4y+\frac{1}{2}f^2(x)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Thong Nhat

Thong Nhat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

a) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ sao cho với mọi số nguyên dương n thì: $(f(1))^3+(f(2))^3+...+(f(n))^3=(f(1)+f(2)+...+f(n))^2$

b) Cho hàm số $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x^2+f(y))=4y+\frac{1}{2}f^2(x),\forall x,y \in \mathbb{R}$

1) Chứng minh f là hàm lẻ trên $\mathbb {R}$

2) Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn yêu cầu bài toán


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thong Nhat: 14-11-2018 - 21:01


#2
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

a) Ta giải bằng cách sử dụng quy nạp mạnh để chứng minh $f(n)=n$ (1)

Với $n=1$, dễ dàng có được $f(1)=1$, vì $f(1)>0$

Giả sử (1) đúng đến $n=k$, chứng minh (1) đúng đến $n=k+1$

Ta chứng minh như sau:

Áp dụng giả thiết quy nạp ta có $1^3+2^3+\ldots+n^3+f(n+1)^3=(1+2+\ldots+n+f(n+1))^2$, suy ra $f(n+1)^3=2f(n+1)(1+\ldots+n)+f(n+1)^2$.

Do đó $f(n+1)^2-f(n+1)-n(n+1)=0$.Ta có một phương trình bậc hai ẩn $f(n+1)$, chứa tham số n, suy ra được nghiệm $f(n+1)=\frac{1\pm(2n+1)}2$, suy ra được 2 nghiệm $f(n+1)=-n$ (loại) hoặc $f(n+1)=n+1$ (nhận).

Vì vậy (1) đúng với mọi $n\in\mathbb{N^*}$



#3
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

b) Thay $x=0$ ta có $f$ là hàm toàn ánh.

Thay $x=t$ và $x=-t$ để có $f$ là hàm lẻ.

Ta cũng dễ dàng chứng minh được $f$ là đơn ánh bằng cách giả sử tồn tại 2 số $a$ và $b$ sao cho $f(a)=f(b)$.

Thay $x=y=0$ ta có $f(0)=0$.

Với $y=0$, ta có  $f(x^2)=\frac{1}{2}f(x)^2$ (1)

Vì thế với $y = -t$ ta được $f(x^2+f(-t))=f(x^2-f(t))=-4t+\frac{1}{2}f^2(x) = -4t +f(-x^2)$ 

$\Rightarrow f(-x^2+f(t)) = 4t+f(x^2)$

Do đó với mọi $x, y \in \mathbb R$ : $f(x+f(y)) = 4y+f(x) = f(f(y))+f(x)$ , nên đặt $t= f(y)$ ta sẽ có: $f(x+t)=f(x)+f(t)$

Ta có đây là hàm Cauchy quen thuộc, nhưng ta hãy để ý điều sau:

Nếu ta thay $x$ bởi $\sqrt{x}$, với $x\geq 0$, ta sẽ có $f(x)=\frac{1}{2}f(\sqrt{x})^2 \geq 0$

Do đó $f(x)$ sẽ không có giá trị ở phần tư thứ hai (theo chiều kim đồng hồ) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. 

Vì vậy, ta sẽ có một kết quả từ hàm Cauchy là $f(x)$ là hàm tuyến tính và liên tục. Thay lại vào hàm đề bài ta có một kết quả duy nhất là $\boxed{f(x)\equiv 2x}$.

Thử lại thấy đúng với mọi $x \in\mathbb R$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh