Chủ đề này có 2 trả lời

[Zeref]

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019

Câu 1:

Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix} x_1=x_2=1\\ x_{n+2}=\log_3{(3x_{n+1}+75)}-\log_2{(x_n+2)}, n=1,2,3, ... \end{matrix}\right.$

1) CMR $x_n \ge 1$ với mọi $n=1,2,3,...$

2) Tính lim $x_n$

Câu 2:

Đường tròn $(I)$  nội tiếp tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$), tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $BE,CF$ cắt $(I)$ tại điểm thứ hai lần lượt là $X,Y$. $AX,AY$ cắt $(I)$ tại điểm thứ hai lần lượt là $X',Y'$. Các đường thẳng $EX',FY'$ cắt $AB,AC$ tại $X",Y"$ tương ứng.

1) CMR $X"Y"$ tiếp xúc $(I)$

2) Lấy $M,N$ trên $AC,AB$ sao cho $\widehat{MIB}=\widehat{NIC}=90^{\circ}$. Giả sử tồn tại điểm $M',N'$ tương ứng trên $AC,AB$ sao cho $MM',NN'$ cùng vuông góc $BC$. $(AM'N')$ cắt $(ABC)$ tại điểm thứ hai là $K$. Một đường thẳng đi qua hình chiếu vuông góc của $K$ lên $BC$ và trung điểm $KD$ cắt $M'N'$ tại $T$. CMR $KT$ vuông góc $M'N'$

Câu 3:

Cho đa thức $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ ($a,b,c,d$ là các số nguyên cho trước và $d \ne 0$) có 4 nghiệm thực phân biệt là $x_1,x_2,x_3,x_4$.

1) CMR nếu $\frac{x_2}{x_1}, \frac{x_3}{x_1}, \frac{x_2}{x_3}$ là các số hữu tỉ khác $-1$ thì $x_1,x_2,x_3,x_4$ là các số nguyên

2) Nếu biết $\frac{x_2}{x_1}, \frac{x_4}{x_3}$ là các số hữu tỉ khác $-1$ thì đa thức đã cho luôn có nghiệm hữu tỉ hay không ?

Câu 4:

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $7^p-p-16$ là một số chính phương.

Câu 5:

Một đề thi có $n$ câu hỏi, điểm mỗi câu hỏi là $1$. Một nhóm $n$ học sinh tham gia giải đề thi này, mỗi em làm một bài thi độc lập với nhau và số điểm của nhóm là tổng số điểm của các em. Người ta thấy rằng, cứ hai câu bất kì thì có tối đa một em giải đúng cả hai câu

1) Hãy tính số điểm lớn nhất có thể có của nhóm $n$ học sinh này

2) Chỉ ra một trường hợp số điểm lớn nhất khi $n=6,n=7$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 19-11-2018 - 23:39

[Zeref]

Câu 1

1) Ta cm $x_n \in [1;4]$ với mọi $n \ge 1$ bằng quy nạp.

2) Từ giả thiết suy ra 

$|x_{n+2}-2|=|[\log_3{(3x_{n+1}+75)}-2]-[\log_2{(x_n+2)}-2]| \le |\log_3{(3x_{n+1}+75)}-2|+|\log_2{(x_n+2)}-2| $

Xét $f(x)=\log_3{(3x_{n+1}+75)}$, $x \in [1;4]$, dễ dàng thấy $f'(x)<\frac{1}{12}$. Do đó theo định lý Largrange, tồn tại $c \in [1;4]$ để $|f(x_{n+1})-f(2)|=f'(c)|x_{n+1}-2| \le \frac{1}{12}|x_{n+1}-2|$. Suy ra $|\log_3{(3x_{n+1}+75)}-2 \le \frac{1}{12}|x_{n+1}-2|$ với mọi $n \ge 2$

Làm tương tự, ta có $|\log_2{(x_n+2)}-2| \le \frac{1}{2}|x_n-2|$ với mọi $n \ge 2$

Vậy, $|x_{n+2}-2| \le \frac{1}{12}|x_{n+1}-2|+\frac{1}{2}|x_n-2|$ với mọi $n \ge 1$

Đặt $y_n=x_n-2$ thì $|y_{n+2}| \le \frac{1}{12}|y_{n+1}|+\frac{1}{2}|y_n|$. Suy ra $\lim{y_n}=0$ và suy ra $\lim{x_n}=2$

 

Mọi người đóng góp với ạ ...

[Nguyen Danh]

Ai giải câu 4 v