Chủ đề này có 5 trả lời

[Sin99]

Bài 1.Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác bất kì

CMR: $a^3 + b^3 + c^3 < (a+b)(a+c)(b+c)$

Bài 2 Không liên quan đến BĐT lắm ạ  

1 số nguyên dương n được gọi là " đẹp " nếu thõa mãn đồng thời 2 điều kiện sau:

i) n có ít nhất 4 ước nguyên dương

ii) Với mọi a,b là ước số của n sao cho 1<a<b<n thì b -a cx là ước số của n 

a) CMR : n = $2019^{2018}$ ko là số đẹp

b) Tìm tất cả các số n đẹp. 

(Trích đề thi HSG huyện Vĩnh Yên 2018 - 2019) 

[DOTOANNANG]

$\lceil$ Phép thế Ravi! $\rfloor$

 

$\{\begin{array}{ll} a= \frac{x+ y}{2}\\ \\ b= \frac{y+ z}{2}\\ \\ c= \frac{z+ x}{2}\end{array}\,\,\rightarrow$

 

$\left ( \frac{x+ y}{2}+ \frac{x+ z}{2} \right )$ $\left ( \frac{x+ y}{2}+ \frac{y+ z}{2} \right )$ $\left ( \frac{x+ z}{2}+ \frac{y+ z}{2} \right )$ $- \sum\limits_{cyc}\left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{3}$ $= \frac{x^{2}y+ x^{2}z+ y^{2}x+ y^{2}z+ z^{2}x+ z^{2}y+ 4\,xyz}{2}> 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 19-11-2018 - 19:54

[Sin99]

Phép thế Ravi là sao ạ 

[DOTOANNANG]

Trong lời giải trên, mấu chốt là sử dụng $\lceil$ phép thế Ravi $\rfloor$ $a= \frac{x+ y}{2},\,b= \frac{y+ z}{2},\,c= \frac{z+ x}{2}$, vì $a,\,b,\,c$ là $3$ cạnh của tam giác nên điều kiện sẽ rất ràng buộc, vì vậy đặt: $\{\begin{array}{ll}\\ a+ b- c= y> 0\\ \\ b+ c- a= z> 0\\ \\ c+ a- b= x> 0\\ \end{array}\,\,\rightarrow \,\,$

Bất đẳng thức ban đầu chỉ đúng với điều kiện $a,\,b,\,c$ là $3$ cạnh của tam giác giờ đã được đưa về đúng với điều kiện $3$ số dương $x,\,y,\,z$ !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 20-11-2018 - 09:12

[DOTOANNANG]

Trong lời giải trên, mấu chốt là sử dụng $\lceil$ phép thế Ravi $\rfloor$ $a= \frac{x+ y}{2},\,b= \frac{y+ z}{2},\,c= \frac{z+ x}{2}$, vì $a,\,b,\,c$ là $3$ cạnh của tam giác nên điều kiện sẽ rất ràng buộc, vì vậy đặt: $\{\begin{array}{ll}\\ a+ b- c= y> 0\\ \\ b+ c- a= z> 0\\ \\ c+ a- b= x> 0\\ \end{array}\,\,\rightarrow \,\,$

Bất đẳng thức ban đầu chỉ đúng với điều kiện $a,\,b,\,c$ là $3$ cạnh của tam giác giờ đã được đưa về đúng với điều kiện $3$ số dương $x,\,y,\,z$ !

$\lceil$ Ravi $\rfloor$ trong tên gọi của phép thế cũng là tên gọi của Ravi Vakil, một nhà toán học người Mỹ gốc Canada, làm việc trong hình học đại số!

$\lceil$ https://en.wikipedia...wiki/Ravi_Vakil $\rfloor$, kết quả của ông tại CMO:

$\lceil$ https://cms.math.ca/...sults/winschool $\rfloor$

Spoiler

Kì lạ ở chỗ: "Phép thế Ravi bắt nguồn từ IMO $1983$, ông lại đạt giải nhất CMO $1986,\,87$." 

Nghi vấn: "Nguồn cơn của cách giải này?"

[Sin99]

Anh ơi như v nếu sử dụng phép thế Ravi thì đều đặt như thế ạ ?  

Với lại dấu hiệu nào để cho mình biết cần dùng Phép thế ravi ạ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 20-11-2018 - 21:01