Đến nội dung

Hình ảnh

Bất đẳng thức đề thi HSG toán 9


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ThinhThinh123

ThinhThinh123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c \geq 2$.

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P= a+b+c+ \frac{a+b}{16abc}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThinhThinh123: 28-11-2018 - 18:37


#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Dễ thấy, ta chỉ cần tìm $\text{P}_{\min}= \frac{a+ b}{16\,abc}$ . Việc đầu tiên là đi tìm cực trị của bài toán:

Spoiler

Vai trò $a,\,b$ như nhau nên dự đoán dấu bằng xảy ra, khi đó $a= b$ , có thể hiểu bài toán là tìm $\text{P}_{\min}= \frac{1}{8\,ac}$ với $2\,a+ c\geqq 2$ . Ta tìm $\max ac$ và nhận thấy $a$ và $c$ đồng bậc, $2\,a+ c= 2$ với $a$ và $c$ đồng bậc (cũng như vậy (!)), suy ra $2\,a= c$ để dấu bằng xảy ra, tìm được: $\left ( a,\,b,\,c \right )= \left ( \frac{1}{2},\,\frac{1}{2},\,1 \right )$ . Chứng minh:

$\frac{a+ b}{16\,abc}\geqq \frac{1}{4}$ , trả về đồng bậc và: $\left ( a+ b \right )\left ( a+ b+ c \right )^{\,2}\geqq 16\,abc$ , sử dụng điểm rơi vừa tìm được: $\left ( a+ b \right )\left ( a+ b+ c \right )^{2}= \left ( a+ b \right )\left ( a+ b+ c/\,2+ c/\,2 \right )\geqq 2\,\sqrt{ab}\left ( 4\,\sqrt[4]{abc^{\,2}/\,4} \right )^{\,2}= 16\,abc$ , là điều phải chứng minh (!)

 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh