Chủ đề này có 2 trả lời

[canletgo]

Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Gọi S là tập hợp các tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác. Chọn ngẫu nhiên một tam giác trong tập S. Tính xác suất đẻ chọn được tam giác có một góc lơn hơn 140$^o$.

 

[Ruka]

KGM : $|\Omega|  = C_{2018}^3$

 

Gọi đa giác đều đó là $A_1A_2...A_{2018}$. Do đa giác này đều nên nó nội tiếp đường tròn được.

 

Giả sử đa giác này nội tiếp đường tròn $(O)$

 

Khi đó các đỉnh của của đa giác chia đường tròn $(O)$ thành $2018$ cung bằng nhau, hiển nhiên mỗi cung có số đo bằng $\displaystyle\binom{180}{1009}^o$.

 

Xét tam giác $A_iA_1A_j$ với $2 \leq i < j \leq 2018$

 

Lại có $\widehat{A_iA_1A_j} = \dfrac{1}{2}(j-i).(\dfrac{180}{1009})^o$

 

Do đó $\widehat{A_iA_1A_j} > 140^o \iff \dfrac{1}{2}(j-i).(\dfrac{180}{1009})^o > 140^o$

 

$\iff j - i > 1570 \iff 2 \le i < j  - 1570 \le 448$  $(1)$

 

Số tam giác $A_iA_1A_j$ thỏa $\widehat{A_iA_1A_j} > 1470^o$ chính là số cặp $(i;j)$ thỏa $(1)$ 

 

Do đó số tam giác thỏa yêu cầu đề bài là $2018 . C_{446}^2$

 

Xác suất cần tìm : $P = \dfrac{2018 . C_{446}^2}{C_{2018}^3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 04-03-2023 - 21:37

[chanhquocnghiem]

KGM : $|\Omega|  = C_{2018}^3$

 

Gọi đa giác đều đó là $A_1A_2...A_{2018}$. Do đa giác này đều nên nó nội tiếp đường tròn được.

 

Giả sử đa giác này nội tiếp đường tròn $(O)$

 

Khi đó các đỉnh của của đa giác chia đường tròn $(O)$ thành $2018$ cung bằng nhau, hiển nhiên mỗi cung có số đo bằng $\displaystyle\binom{180}{1009}^o$.

 

Xét tam giác $A_iA_1A_j$ với $2 \leq i < j \leq 2018$

 

Lại có $\widehat{A_iA_1A_j} = \dfrac{1}{2}(j-i).(\dfrac{180}{1009})^o$

 

Do đó $\widehat{A_iA_1A_j} > 140^o \iff \dfrac{1}{2}(j-i).(\dfrac{180}{1009})^o > 140^o$

 

$\iff j - i > 1570 \iff 2 \le i < j  - 1570 \le 448$  $(1)$

 

Số tam giác $A_iA_1A_j$ thỏa $\widehat{A_iA_1A_j} > 1470^o$ chính là số cặp $(i;j)$ thỏa $(1)$ 

 

Do đó số tam giác thỏa yêu cầu đề bài là $2018 . C_{446}^2$

 

Xác suất cần tìm : $P = \dfrac{2018 . C_{446}^2}{C_{2018}^3}$

Xét $\Delta A_iA_1A_j$ với $2\leqslant i< j\leqslant 2018$ có $\widehat{A_iA_1A_j}=(j-i).\frac{90^o}{1009}$
$\widehat{A_iA_1A_j}> 140^o\Leftrightarrow j-i> 1569\Leftrightarrow 2\leqslant i< j-1569\leqslant 449$
$\Rightarrow$ Số tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài là $2018\ C_{448}^2$
Và xác suất cần tính là $P=\frac{2018\ C_{448}^2}{C_{2018}^3}$.