Chủ đề này có 5 trả lời

[toilachinhtoi]

Trong topic này tôi muốn trình bày một số ứng dụng của ma trận Jordan để giải một số bài toán về đại số tuyến tính.

Ma trận (hay dạng chuẩn tắc) Jordan là một ma trận vuông http://dientuvietnam...tex.cgi?(a_{ij}) có dạng đơn giản http://dientuvietnam...ex.cgi?a_{ij}=0 nếu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x^4, http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x^4 nên ta thấy ma trận Jordan của A (sau một số phép hoán vị hàng và cột) là một trong các ma trận sau
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?J_1=[[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0]]
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?J_2=[[0,1,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0]]
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?J_3=[[0,1,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,1],[0,0,0,0]]
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?J_4=[[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0]]
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?J_5=[[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,1,0],[0,0,0,0]]
Kiểm tra trên tất cả các ma trận này ta thấy không có ma trận nào thỏa mãn.

VD2: Cho E là ma trận vuông http://dientuvietnam...ex.cgi?a_{ij}=1 nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?j>i, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_{ij}=0 nếu ngược lại. Cho A là ma trận khả nghịch thỏa http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?AE=EA. Chứng minh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A+E khả nghịch.

Giải: Ta dễ dàng kiểm tra đa thức đặc trưng của E là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^n và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E_1 thỏa http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_{ij}=1 nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?j=i+1 và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_{ij}=0 nơi khác (giống ma trận J5 trong ví dụ 1). Gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C là ma trận chuyển đơn vị, nghĩa là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E=C^{-1}E_1C. Đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=C^{-1}A_1C. Ta dễ dàng thấy rằng bài toán không thay đổi nếu thay E và A bởi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E_1,A_1. Bây giờ kiểm tra trực tiếp điều kiện http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A_1E_1=E_1A_1 ta thấy rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A_1 là ma trận đường chéo trên. Do đó (đpcm).

[thuantd]

Khi học về đại số tuyến tính, chắc hẳn mỗi người chúng ta đều có nghiên cứu về ma trận chéo - một dạng ma trận đặc biệt, lý tưởng cho việc tính lũy thừa của ma trận. Tuy nhiên, không phải mọi ma trận đều chéo hóa được (vì chỉ những ma trận vuông cấp n có đúng n vectơ riêng tạo thành hệ độc lập tuyến tính mới chéo hóa được). Điều kiện Jordan hóa một ma trận "mềm" hơn, chỉ đòi hỏi ma trận vuông cấp n đó có đúng n nghiệm (không nhất thiết phân biệt), nghĩa là các ma trận trên trường số phức luôn Jordan hóa được. Ma trận Jordan http://dientuvietnam...x.cgi?A=(a_{ij}) là một ma trận tam giác trên đặc biệt, nghĩa là:

• http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_{ij}=0 nếu i>j hoặc j>i+1 (tức là ).
• 
• 

(dĩ nhiên các phần tử của ma trận đều thuộc trường số K đã xét).

Ma trận dạng Jordan có khá nhiều số 0 so với các ma trận đồng dạng với nó và cũng tương đối thuận tiện cho việc tính toán. Ma trận chéo chỉ là một trường hợp đặc biệt của ma trận jordan với các phần tử ngoài đường chéo đều bằng 0 và như vậy không có một sự ràng buộc nào giữa hai phần tử liên tiếp trên đường chéo. Đưa về ma trận chéo, ta có thể tính được mũ n của một ma trận vuông, và đưa được về ma trận Jordan, việc tính mũ n của ma trận vuông có phần đơn giản hơn ma trận tùy ý (nhờ có nhiều số 0 ở ma trận Jordan).
Việc Jordan hóa ma trận có thể gợi cho chúng ta liên tưởng đến ý tưởng của phương pháp Gauss trong giải hệ phương trình tuyến tính: mỗi dòng còn càng ít ẩn càng tốt. Một ứng dụng khác của ma trận Jordan chính là giải hệ phương trình vi phân tuyến tính. Thay vì phải giải một hệ Y=A.X cồng kềnh, phức tạp, ta có thể đổi biến, đổi cơ sở để giải một hệ tương đương nhưng gọn nhẹ hơn Y'=A'.X' trong đó A' là ma trận Jordan (luôn biến đổi được nếu xem A là ma trận các hệ số phức). Hệ sau dễ giải hơn hệ trước, và qua phép biến đổi ngược, ta sẽ tìm được nghiệm của hệ phương trình vi phân ban đầu.

[toilachinhtoi]

Thêm một ít về ma trận Jordan:
Hai ma trận A và B là đồng dạng nếu chúng có cùng ma trận Jordan.

Bây giờ ta xét một thủ tục đơn giản để tìm các khối Jordan của một ma trận.
Cho đơn giản ta xét bài toán sau: Xét A là ma trận với đa thức đặc trưng http://dientuvietnam...imetex.cgi?x^n. Hãy tìm các khối Jordan của A?
Trong cuốn sách của Serge Lang có trình bày một cách để tìm. Nhưng trong một số bài toán thì có một cách khác thích hợp hơn.
Ta kí hiệu http://dientuvietnam...091;0,0,...,0]] với số chiều k. Nhận xét rằng đa thức tối tiểu (minimal polynomial) của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?J_k là http://dientuvietnam...imetex.cgi?x^k. Như vậy nếu ta viết http://dientuvietnam...1},...,J_{k_m}] là ma trận Jordan của A thì
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n_2 là con số những khối Jordan có số chiều http://dientuvietnam...mimetex.cgi?n_3 là con số những khối Jordan có số chiều http://dientuvietnam...cgi?a_1,a_2,... ta có thể viết ra chính xác dạng Jordan của A vì http://dientuvietnam..._3=a_3-a_2,....

Ta minh họa phương pháp này bằng cách giải lại VD1.
Vì http://dientuvietnam...ex.cgi?rank(A^2)=rank(A^3) nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_2=a_3. Do đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n_3=a_3-a_2=0 nghĩa là không có khối Jordan nào của A có số chiều http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A^2=0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 19-08-2006 - 22:09

[lnnh12284]

Mình cũng đang đọc về lý thuyết ma trận chủ yếu là để phục vụ cho ngành của mình thôi.Có một số thắc mắc như thế này mong các tiền bối chỉ giúp:
1.Muốn hiểu được các kiến thức về ma trận ngẫu nhiên thì cần có các kiến thức toán nào?
2.Bậc tiền bối nào có thể giải thích một cách dễ hiểu các khái niệm thông thường đối với ma trận ngẫu nhiên như: phép biến đổi Gauss(không biết là có không nhỉ?),định thức ,trị riêng,vecto riêng, đa thức đặc trưng ,đa thức tối thiểu,các dạng chuẩn . . .
Quả thật,mình đọc thử một cuốn sách viết về ma trận ngẫu nhiên,nhưng không thể hiểu một chút nào.Mình chỉ là dân kĩ thuật quèn thôi.Mong mọi người giúp đỡ.

[Ngohanganh2581]

Mọi người ai cho mình xin ít tài liệu về phần ma trận jordan và ứng dụng với ạ thanks

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngohanganh2581: 10-04-2016 - 16:37

[Ngohanganh2581]

Mọi người ai cho mình xin ít tài liệu về phần ma trận jordan và ứng dụng với ạ thanks

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngohanganh2581: 10-04-2016 - 16:39