Chủ đề này có 1 trả lời

[duongvu]

     Một hình chóp lục giác đều SA1A2...A6 có đỉnh S. Trong một hệ tọa độ hình chữ nhật (cơ sở trực giao), tọa độ của ba đỉnh của hình chóp được biết: A1 (0; 2; 0), A2 (0; 0; 0), S (0; 1; 3). Biết điểm A4 có tọa độ (a; b; c). Tìm max (a +b +c)?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongvu: 09-12-2018 - 18:38

[chanhquocnghiem]

     Một hình chóp lục giác đều SA1A2...A6 có đỉnh S. Trong một hệ tọa độ hình chữ nhật (cơ sở trực giao), tọa độ của ba đỉnh của hình chóp được biết: A1 (0; 2; 0), A2 (0; 0; 0), S (0; 1; 3). Biết điểm A4 có tọa độ (a; b; c). Tìm max (a +b +c)?

Gọi $M$ là trung điểm $A_1A_2$, $I$ là tâm của đáy hình chóp $\Rightarrow M(0;1;0)$ ; $A_1A_2\perp (SIM)$ và $\measuredangle SIM=90^o$

$\Rightarrow (SIM):y=1$ ; $SM=3$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_I^2+(z_I-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}\\y_I=1 \end{matrix}\right.$

Nhận xét rằng $I$ là trung điểm của $A_1A_4$ $\Leftrightarrow a+b+c=x_{A_4}+y_{A_4}+z_{A_4}=2\left ( x_I+y_I+z_I \right )-(x_{A_1}+y_{A_1}+z_{A_1})$

Vậy $a+b+c$ đạt GTLN $\Leftrightarrow x_I+y_I+z_I$ đạt GTLN $\Leftrightarrow x_I+z_I$ đạt GTLN

Gọi $K$ là trung điểm $SM$ ; $\measuredangle MKI=t$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_I=\frac{3}{2}\sin t\\z_I=\frac{3}{2}\left ( 1-\cos t \right ) \end{matrix}\right.$

$(x_I+z_I)'=\frac{3}{2}\left ( \cos t+\sin t \right )$

$(x_I+z_I)_{max}=\frac{3}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{2}\left ( 1+\frac{\sqrt{2}}{2} \right )=\frac{3+3\sqrt2}{2}\Rightarrow (x_I+y_I+z_I)_{max}=\frac{5+3\sqrt2}{2}$

$(a+b+c)_{max}=2(x_I+y_I+z_I)_{max}-(x_{A_1}+y_{A_1}+z_{A_1})=3+3\sqrt2$.