$\lceil$ Bài toán : $\rfloor$ Có $9$ học sinh trong đó $3$ nữ được chia thành $3$ nhóm bằng nhau . Tính xác suất để mỗi nhóm có một nữ !
Bạn Đăng trên lớp đưa ra một cách giải như sau :
Xét phép thử : " Nhóm mà học sinh nữ thứ $\text{j}\,\,\left ( \text{j}= \overline{1,\,3} \right )$ sẽ vào ! " có $\Omega = \left \{ \text{Nhom}\,1,\,\text{Nhom}\,2,\,\text{Nhom}\,3 \right \}$ , suy ra $\left | \Omega \right |= 3$
Gọi $\text{A}_{\,\text{j}}$ là biến cố : " Học sinh nữ thứ $\text{j}$ không chung nhóm với $2$ học sinh nữ còn lại ! " .
Ở đây , không mất tính tổng quát trong chứng minh , giả sử yếu tố mỗi học sinh nữ sẽ được ưu tiên lựa chọn nhóm mà mình vào được nhắc đến ! ( dựa vào và đưa về theo kiểu lợi nhất , chỉ mang tính ví dụ ) . Ưu tiên " Lady first ! " , người đầu " First lady ! ", theo thứ tự $\text{j}= \left [ 1\,\rightarrow 2\,\rightarrow 3 \right ]$ .
Nữ sinh thứ $\text{j}= 1$ có xác suất chọn nhóm thỏa $\text{A}_{\,1}$ là : $\text{P}\left ( \text{A}_{\,1} \right )= \frac{3}{3}= 1$ .
Nữ sinh thứ $\text{j}= 2$ có xác suất chọn nhóm thỏa $\text{A}_{\,2}$ là : $\text{P}\left ( \text{A}_{\,2} \right )= \frac{3- 1}{3}= \frac{3}{2}$ .
Nữ sinh thứ $\text{j}= 3$ có xác suất chọn nhóm thỏa $\text{A}_{\,3}$ là : $\text{P}\left ( \text{A}_{\,3} \right )= \frac{3- 2}{3}= \frac{1}{2}$ .
Vậy xác suất cần tìm là $\text{P}\left ( \text{A}_{\,1}\,\,\text{A}_{\,2}\,\,\text{A}_{\,3} \right )= \text{P}\left ( \text{A}_{\,1} \right )\,\text{P}\left ( \text{A}_{\,2} \right )\,\text{P}\left ( \text{A}_{\,3} \right )= \frac{3}{3}\,.\,\frac{2}{3}\,.\,\frac{1}{3}= \frac{2}{9}$ .
Kết quả là bạn Đăng lên bảng làm xong rồi đi xuống , sau khi đó thầy bạn đã giải lại và đưa ra đáp số là $\frac{9}{28}$ nhưng lại bằng cách đưa ra biến cố $\text{B}$: " Mỗi nhóm có $2$ học sinh nam và $1$ học sinh nữ ! " . Cách này không gây ấn tượng và bạn Đăng quyết dùng cách chứng minh ban đầu của mình , bạn cố gắng giải lại và nhận ra : $\frac{\text{P}\left ( \text{B} \right )}{\text{P}\left ( \text{A}_{\,1}\,\,\text{A}_{\,2}\,\,\text{A}_{\,3} \right )}= \frac{9}{28}\,/\,\frac{2}{9}= \frac{81}{28}= \frac{9}{9}\,.\,\frac{9}{8}\,.\,\frac{9}{7}$ , vậy nên bạn đã cố phải chấp nhận lời giải này :
Nữ sinh thứ $\text{j}= 1$ có thể ngồi $9$ chỗ còn lại trong $9$ chỗ có xác suất chọn nhóm thỏa $\text{A}_{\,1}$ là $\frac{9}{9}\,\,\text{P}\left ( \text{A}_{\,1} \right )= \frac{9}{9}\,.\,\frac{3}{3}= 1$
Nữ sinh thứ $\text{j}= 2$ có thể ngồi $8$ chỗ còn lại trong $9$ chỗ có xác suất chọn nhóm thỏa $\text{A}_{\,2}$ là $\frac{9}{8}\,\,\text{P}\left ( \text{A}_{\,2} \right )= \frac{9}{8}\,.\,\frac{2}{3}= \frac{3}{4}$
Nữ sinh thứ $\text{j}= 3$ có thể ngồi $7$ chỗ còn lại trong $9$ chỗ có xác suất chọn nhóm thỏa $\text{A}_{\,3}$ là $\frac{9}{7}\,\,\text{P}\left ( \text{A}_{\,3} \right )= \frac{9}{7}\,.\,\frac{1}{3}= \frac{3}{7}$
Lời giải nhẹ nhàng này có đáp số $\text{P}\left ( \text{A}_{\,1}\,\,\text{A}_{\,2}\,\,\text{A}_{\,3} \right )= \frac{9}{28}$ . Nhưng bạn Đăng muốn cặn kẽ và sớm đưa ra một lời giải thuyết phục hơn ! Bạn muốn giải thích được bài toán bằng cách giải của mình , hơn nữa chứng minh có phần may mắn này sẽ ra sao nếu bài toán chuyển về dạng :
$\lceil$ Bài toán $1$ : $\rfloor$ Có $k$ học sinh trong đó $3$ nữ được chia thành $3$ nhóm bằng nhau , mỗi nhóm $3$ học sinh . Tính xác suất để mỗi nhóm có một nữ !
$\lceil$ Bài toán $2$ : $\rfloor$ Có $9$ học sinh trong đó $3$ nữ được chia thành $3$ nhóm bằng nhau , mỗi nhóm $k$ học sinh . Tính xác suất để mỗi nhóm có một nữ !
Hiển nhiên bạn Đăng không thể dùng chứng minh " may mắn " của mình cho Bài toán $1$ được , nếu $k\neq 9$ thì sao ?
Mọi người có thể giúp bạn chứng minh này và có thể giúp bạn nhớ lại lời giải của thầy mình không ? ( bằng cách đưa ra biến cố $\text{B}$: " Mỗi nhóm có $2$ học sinh nam và $1$ học sinh nữ ! " )