Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $n$ để $5x_{n+1}x_{n}+1$ là số chính phương

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
NguyenHoaiTrung

NguyenHoaiTrung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết

Cho dãy số được xác định như sau:

$$ \left\{\begin{matrix} x_1=20 ; x_2=30 & \\ x_{n+1}=3x_{n}-x_{n-1} & \end{matrix}\right. $$

Tìm $n$ để $5x_{n+1}x_{n}+1$ là số chính phương 



#2
WaduPunch

WaduPunch

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 40 Bài viết

Ta có :$x_nx_{n+2}-x_{n+1}^2=x_n(3x_{n+1}-x_n)-x_{n+1}^2=-x_{n}^2+x_{n+1}(3x_n-x_{n+1})=x_{n-1}x_{n+1}-x_{n}^2=...=x_1x_3-x_{2}^2=500$

Mặt khác:$(x_{n}+x_{n+1})^2=x_{n}^2+2x_nx_{n+1}+x_{n+1}^2=x_{n}^2+2x_nx_{n+1}+x_{n+1}(3x_n-x_{n-1})=x_n^2+5x_nx_{n+1}-x_{n+1}x_{n}=x_n^2+5x_nx_{n+1}-x_n^2-500=5x_nx_{n+1}-500< 5x_nx_{n+1}+1<=>(x_{n}+x_{n+1})^2< 5x_nx_{n+1}+1$

Lại có $ (x_n+x_{n+1}+1)^2=(x_n+x_{n})^2+2(x_n+x_{n+1})+1=5x_nx_{n+1}-499+2(x_n+x_{n+1})$

mà $(x_n)$ là dãy số tăng nên 

Với $n\geq 4$ thì $x_n+x_{n+1}> x_4+x_5=650$ nên $(x_n+x_{n+1}+1)^2=5x_nx_{n+1}-499+2(x_n+x_{n+1})> 5x_nx_{n+1}+801> 5x_nx_{n+1}+1$

Vì vậy $(x_{n}+x_{n+1})^2< 5x_nx_{n+1}+1< (x_{n}+x_{n+1}+1)^2$ $=>5x_nx_{n+1}+1$ không thể là số chình phương

Với $n< 4$, thử chọn ta có $n=3$ t/m

Vậy $n=3$ là số cần tìm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WaduPunch: 03-05-2019 - 23:47





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh