Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n,$ số $2^{3^{n}}+1$ có ít nhất $n$ ước nguyên tố có dạng $8k+3,k\in \mathbb{Z}^{+}.$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n,$ số $2^{3^{n}}+1$ có ít nhất $n$ ước nguyên tố có dạng $8k+3,k\in \mathbb{Z}^{+}.$
Lời giải supermember, 21-03-2023 - 12:00
Bài này giải như thế này.
Bước 1: Ta đi chứng minh mọi ước nguyên tố của số $2^{3^{n}}+1$ đều phải có dạng $8k+3$ hoặc $8k+1$.
Thật vậy, giả sử : $ 2^{3^{n}}+1 \equiv 0 \pmod p \implies 2^{3^{n}} \equiv -1 \pmod p $
$ \implies 2^{3^{n} +1} \equiv -2 \pmod p \implies \left(2^{\frac{3^{n} +1}{2}} \right)^2 \equiv -2 \pmod p $
Tức là $-2$ là số chính phương $ \pmod p$.
$ \implies \big( \frac{-2}{p} \big) = \big( \frac{-1}{p} \big) \cdot \big( \frac{2}{p} \big) =1$
Nên chỉ có thể xảy ra $2$ trường hợp:
Trường hợp $1$: $\big( \frac{-1}{p} \big) = \big( \frac{2}{p} \big) =1$
Mà : $ \big( \frac{-1}{p} \big) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} ; \big( \frac{2}{p} \big) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$
Tức là : $p$ phải có dạng $8k+1$
Trường hợp $2$: $\big( \frac{-1}{p} \big) = \big( \frac{2}{p} \big) = -1$
Mà : $ \big( \frac{-1}{p} \big) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} ; \big( \frac{2}{p} \big) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$
Tức là : $p$ phải có dạng $8k+3$
Mà rõ ràng $2^{3^{n}}+1$ cũng có dạng $8k+1$, suy ra khi viết $2^{3^{n}}+1$ dưới dạng tích của các ước số nguyên tố (không nhất thiết phân biệt), thì phải có đúng một số chẵn các ước nguyên tố dạng $8k+3$. Các ước nguyên tố lẻ còn lại (nếu có) thì có dạng $8k+1$. Ta gọi tính chất này là tính chất $ \alpha$.
Bước $2$: Ta đi chứng minh số $ (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1$ cũng có tính chất $ \alpha$ .
Thật vậy, rõ ràng: $ 2^{3^{n+1}}+1 = (2^{3^{n}}+1) \cdot ( (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1)$ mà $ 2^{3^{n+1}}+1 ; \ 2^{3^{n}}+1 $ đều có tính chất $ \alpha$. Nên hiển nhiên $ (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1$ cũng có tính chất $ \alpha$ .
Bước $3$: Ta đi chứng minh $ (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1$ phải có ít nhất $1$ ước nguyên tố $p$ dạng $8k+3$ mà $ p$ không phải ước nguyên tố của $2^{3^{n}}+1$ $(*)$.
Chứng minh điều này không khó:
$ \left( 2^{3^{n}}+1 \right)^2 - \big( (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1 \big) = 3 \cdot 2^{3^{n}} \ \ (**)$
Ta để ý điều sau: $ 3 $ $ || (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1 $ , chứng minh đơn giản bằng cách viết: $ 2^3 = 3^2 -1$.
Nên để $ (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1$ có tính chất $ \alpha$ thì $ (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1$ phải có ít nhất một ước nguyên tố lẻ $p$ khác $3$ có dạng $ p = 8k+3$, nếu $p$ cũng là ước số của số $2^{3^{n}}+1$ thì từ $(**)$ suy ra $ p | 3 \cdot 2^{3^{n}} $ , vô lý.
Do đó $(*)$ được chứng minh.
Bước $4$: Chứng minh khẳng định bài toán bằng quy nạp.
Với $n=1$, $2$ ta dễ thấy khẳng định bài toán đúng do:
Số $2^{3^{1}}+1 = 3^2$ có đúng $1$ ước nguyên tố dạng $8k+3$ là $3$
Số $2^{3^{2}}+1 = 3^3 \cdot 19$ có đúng $2$ ước nguyên tố dạng $8k+3$ là $3 ; \ 19$
Giả sử khẳng định đúng đến $n$, $ n \geq 2$ thì:
$ 2^{3^{n+1}}+1 = (2^{3^{n}}+1) \cdot ( (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1)$ , trong đó $ 2^{3^{n}}+1$ có ít nhất $n$ ước nguyên tố phân biệt dạng $8k+3$ (Giả thiết quy nạp). Còn $ (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1$ có ít nhất $1$ ước nguyên tố dạng $8k+3$, số nguyên tố này không phải ước của $ 2^{3^{n}}+1$ (theo $(*)$ ) .
Suy ra $ 2^{3^{n+1}}+1$ phải có ít nhất $n+1$ ước nguyên tố phân biệt dạng $8k+3$.
Do đó, khẳng định đúng đến $n+1$, và theo nguyên lý quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số nguyên dương $n$.
Ta thấy rằng bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.
Đi đến bài viết »
#1
Đã gửi 02-01-2019 - 20:37
#2
Đã gửi 21-03-2023 - 12:00
Bài này giải như thế này.
Bước 1: Ta đi chứng minh mọi ước nguyên tố của số $2^{3^{n}}+1$ đều phải có dạng $8k+3$ hoặc $8k+1$.
Thật vậy, giả sử : $ 2^{3^{n}}+1 \equiv 0 \pmod p \implies 2^{3^{n}} \equiv -1 \pmod p $
$ \implies 2^{3^{n} +1} \equiv -2 \pmod p \implies \left(2^{\frac{3^{n} +1}{2}} \right)^2 \equiv -2 \pmod p $
Tức là $-2$ là số chính phương $ \pmod p$.
$ \implies \big( \frac{-2}{p} \big) = \big( \frac{-1}{p} \big) \cdot \big( \frac{2}{p} \big) =1$
Nên chỉ có thể xảy ra $2$ trường hợp:
Trường hợp $1$: $\big( \frac{-1}{p} \big) = \big( \frac{2}{p} \big) =1$
Mà : $ \big( \frac{-1}{p} \big) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} ; \big( \frac{2}{p} \big) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$
Tức là : $p$ phải có dạng $8k+1$
Trường hợp $2$: $\big( \frac{-1}{p} \big) = \big( \frac{2}{p} \big) = -1$
Mà : $ \big( \frac{-1}{p} \big) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} ; \big( \frac{2}{p} \big) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$
Tức là : $p$ phải có dạng $8k+3$
Mà rõ ràng $2^{3^{n}}+1$ cũng có dạng $8k+1$, suy ra khi viết $2^{3^{n}}+1$ dưới dạng tích của các ước số nguyên tố (không nhất thiết phân biệt), thì phải có đúng một số chẵn các ước nguyên tố dạng $8k+3$. Các ước nguyên tố lẻ còn lại (nếu có) thì có dạng $8k+1$. Ta gọi tính chất này là tính chất $ \alpha$.
Bước $2$: Ta đi chứng minh số $ (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1$ cũng có tính chất $ \alpha$ .
Thật vậy, rõ ràng: $ 2^{3^{n+1}}+1 = (2^{3^{n}}+1) \cdot ( (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1)$ mà $ 2^{3^{n+1}}+1 ; \ 2^{3^{n}}+1 $ đều có tính chất $ \alpha$. Nên hiển nhiên $ (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1$ cũng có tính chất $ \alpha$ .
Bước $3$: Ta đi chứng minh $ (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1$ phải có ít nhất $1$ ước nguyên tố $p$ dạng $8k+3$ mà $ p$ không phải ước nguyên tố của $2^{3^{n}}+1$ $(*)$.
Chứng minh điều này không khó:
$ \left( 2^{3^{n}}+1 \right)^2 - \big( (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1 \big) = 3 \cdot 2^{3^{n}} \ \ (**)$
Ta để ý điều sau: $ 3 $ $ || (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1 $ , chứng minh đơn giản bằng cách viết: $ 2^3 = 3^2 -1$.
Nên để $ (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1$ có tính chất $ \alpha$ thì $ (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1$ phải có ít nhất một ước nguyên tố lẻ $p$ khác $3$ có dạng $ p = 8k+3$, nếu $p$ cũng là ước số của số $2^{3^{n}}+1$ thì từ $(**)$ suy ra $ p | 3 \cdot 2^{3^{n}} $ , vô lý.
Do đó $(*)$ được chứng minh.
Bước $4$: Chứng minh khẳng định bài toán bằng quy nạp.
Với $n=1$, $2$ ta dễ thấy khẳng định bài toán đúng do:
Số $2^{3^{1}}+1 = 3^2$ có đúng $1$ ước nguyên tố dạng $8k+3$ là $3$
Số $2^{3^{2}}+1 = 3^3 \cdot 19$ có đúng $2$ ước nguyên tố dạng $8k+3$ là $3 ; \ 19$
Giả sử khẳng định đúng đến $n$, $ n \geq 2$ thì:
$ 2^{3^{n+1}}+1 = (2^{3^{n}}+1) \cdot ( (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1)$ , trong đó $ 2^{3^{n}}+1$ có ít nhất $n$ ước nguyên tố phân biệt dạng $8k+3$ (Giả thiết quy nạp). Còn $ (2^{3^{n}})^2 - 2^{3^{n}}+1$ có ít nhất $1$ ước nguyên tố dạng $8k+3$, số nguyên tố này không phải ước của $ 2^{3^{n}}+1$ (theo $(*)$ ) .
Suy ra $ 2^{3^{n+1}}+1$ phải có ít nhất $n+1$ ước nguyên tố phân biệt dạng $8k+3$.
Do đó, khẳng định đúng đến $n+1$, và theo nguyên lý quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số nguyên dương $n$.
Ta thấy rằng bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 21-03-2023 - 17:47
- perfectstrong, hxthanh, DOTOANNANG và 2 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh