Tìm $P(x)\in R[x]$ thỏa $\left\{\begin{matrix} P(0)=0& \\ P(x^2+1)=[P(x)]^2+1& \\ \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} P(0)=0& \\ P(x^2+1)=[P(x)]^2+1& \\ \end{matrix}\right.$
#1
Đã gửi 14-01-2019 - 07:33
#2
Đã gửi 14-01-2019 - 08:28
Tìm $P(x)\in R[x]$ thỏa $\left\{\begin{matrix} P(0)=0& \\ P(x^2+1)=[P(x)]^2+1& \\ \end{matrix}\right.$
Xét dãy sau: $a_0=0$ và $a_{n+1}=a_{n}^2+1 \forall n\ge 1,n\in \mathbb{N}$.
Và ta đi chứng minh: $P(a_{n})=a_n\forall n\in \mathbb{N}$.
Thật vậy:
+ Với $n=0\implies P(a_0)=a_0=0$(Đúng)
+ Với $n=1\implies a_1=a_0^2+1=1$ và $P(a_1)=P(a_0^2+1)=P(a_0)^2+1=1\implies P(a_1)=a_1$(Đúng).
Giả sử $P(a_k)=a_k\forall k\ge 2,k\in \mathbb{N}$.
Khi đó ta có: $P(a_{k+1})=P(a_{k}^2+1)=P(a_k)^2+1=(a_{k})^2+1=a_{k+1}$.
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Để ý ta lại thấy rằng dãy $(a_n)$ là dãy tăng ngặt do $a_{n+1}=a_{n}^2+1>a_n$.
Do đó xét đa thức $Q(x)=P(x)-x,Q(x)\in \mathbb{R}[x]$.
Ta nhận thấy rằng: $Q(a_0)=Q(a_1)=...=0$. Suy ra phương trình này có vô số nghiệm.
Do đó từ đây suy ra được: $Q(x)\equiv 0\implies P(x)\equiv x$.
Vậy $\boxed{P(x)\equiv x}$
- nhuleynguyen yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đa thức
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh