Chủ đề này có 1 trả lời

[poppy123]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:

$f\left ( x-y+f\left ( y \right ) \right )=f\left ( x \right )+f\left ( y \right )$

[pcoVietnam02]

Dễ dàng ta có $f(f(n)) = 2f(n)$ với mọi $n\in\mathbb{R}$ and thay $n$ bởi $f(n)$ vào phương trình hàm gốc

$f(m-n + f(n)) = f(m) + f(n)$

Ta được:

$f(m + f(n)) = f(m) + 2f(n)$ với mọi $m, n \in \mathbb{R}$.(1)

Ta lại thay $m$ bởi $m+n$ cũng vào phương trình hàm gốc ta đc

$f(m + f(n)) = f(m+n) + f(n)$ với mọi $m, n \in \mathbb{R}$. (2)

Từ (1), (2) ta có $f(m+n) = f(m) + f(n)$ với mọi $m, n \in \mathbb{R}$. Do đó $f(n) = kn$ với mọi $k\in\mathbb{R}$ . Thay vào pth gốc ta được $k=0$, or $k=2$

Vậy $f(x) \equiv 0$ hoặc $f(x)=2x$