Chủ đề này có 1 trả lời

[stephen curry]

Gọi I là tâm đường tròn nội  tiếp tam giác ABC. Đường thẳng vuông góc với AI tại A cắt BI, CI tại K, M.Gọi B',C' là giao điểm của các cặp đường thẳng (BI,AC) và (CI,AB). Đường thẳng B'C' cắt (ABC) tại N,E. Chứng minh rằng M,N,E,K cùng thuộc một đường tròn 

[halloffame]

Không mất tổng quát giả sử $AB<AC.$ Gọi $AI,AM$ cắt $BC$ tại $A',D.$

Áp dụng định lí $Ceva$ cho $\Delta ABC: \frac{BA'}{A'C}. \frac{CB'}{B'A}. \frac{AC'}{C'B}=1.$

Lại có $AA',AD$ là phân giác trong và ngoài $\widehat{BAC} \Delta ABC \Rightarrow \frac{BA'}{A'C}= \frac{BA}{AC}= \frac{BD}{DC} \Rightarrow \frac{BD}{DC}. \frac{CB'}{B'A}. \frac{AC'}{C'B}=1.$

Áp dụng định lí $Menelaus$ cho $\Delta ABC: \overline{D,B',C'} \Rightarrow DN.DE=DB.DC.$

Lại có $\widehat{CMA}=90^0- \widehat{MIA}=90^0- \widehat{IAC}- \widehat{ICA}= \frac{180^0- \widehat{BAC}- \widehat{BCA}}{2}= \frac{\widehat{ABC}}{2}= \widehat{CBK}$

$\Rightarrow M,K,B,C$ đồng viên $\Rightarrow DM.DK=DB.DC=DN.DE \Rightarrow M,N,E,K$ đồng viên.

Ta có đpcm.