Chủ đề này có 4 trả lời

[tritanngo99]

Phần 1: TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

 Nếu trong không gian cho hệ tọa độ đềcác vuông góc $Oxyz$, thì điểm $M$ của không gian có các tọa độ $x$( hoành độ), $y$(tung độ) và $z$(cao độ) được ký hiệu là $M(x;y;z)$.

 Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_1;y_1;z_1)$ và $B(x_2;y_2;z_2)$ được xác định theo công thức $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$.

 Đặc biệt khoảng cách của điểm $M(x;y;z)$ đến gốc tọa độ $O$ xác định theo công thức $d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

  Nếu đoạn thẳng giữa các điểm $A(x_1;y_1;z_1)$ và $B(x_2;y_2;z_2)$ được chia bởi điểm $C(\overline{x};\overline{y};\overline{z})$ theo tỷ số $\lambda$ thì các tọa độ của điểm $C$ được xác định theo công thức $\overline{x}=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda};\overline{y}=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda};\overline{z}=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda}$.

  Đặc biệt các tọa độ của điểm giữa đoạn $[AB]$ được xác định theo công thức: $\overline{x}=\frac{x_1+x_2}{2};\overline{y}=\frac{y_1+y_2}{2};\overline{z}=\frac{z_1+z_2}{2}$.

Các ví dụ: 

231. Cho điểm $M_1(2;4;-2)$ và $M_2(-2;4;2)$. Tìm điểm $M$ trên đường thẳng $M_1M_2$ chia đoạn $M_1M_2$ theo tỷ số $\lambda=3$.

Giải. Ứng dụng các công thức chia đoạn thẳng theo tỷ số cho trước $x_M=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}=\frac{2+3.(-2)}{1+3}=-1,y_M=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}=\frac{1+3.4}{1+3}=4,z_M=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda}=\frac{-2+3.2}{1+3}=1$.

Do đó điểm cần tìm là $M(-1;4;1)$.

232. Cho tam giác: $A(1;1;1),B(5;1;-2),C(7;9;1)$. Tìm các tọa độ của giao điểm $D$ của đường phân giác góc $A$ với cạnh $CB$.

Giải. Ta tìm độ dài các cạnh của tam giác tạo thành góc $A$:

$|AC|=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2+(z_C-z_A)^2}=\sqrt{(7-1)^2+(9-1)^2+(1-1)^2}=10$,

$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}=\sqrt{(5-1)^2+(1-1)^2+(-2-1)^2}=5$.

Do đó $\frac{|CD|}{|DB|}=2$, vì đường phân giác chia cạnh $CB$ thành các phần tỷ lệ với các cạnh kề bên $(AC$ và $AB)$.

Vì vậy: $x_D=\frac{x_C+\lambda x_B}{1+\lambda}=\frac{7+2.5}{1+2}=\frac{17}{3},y_B=\frac{y_C+\lambda y_B}{1+\lambda}=\frac{9+2.1}{1+2}=\frac{11}{3},z_D=\frac{z_C+\lambda z_B}{1+\lambda}=\frac{1+2(-2)}{1+2}=-1$

Điểm cần tìm $D(\frac{17}{3};\frac{11}{3};-1)$.

233. Tìm điểm nằm trên trục $Ox$ cách đều các điểm $A(2;-4;5)$ và $B(-3;2;7)$.

Giải. Giả sử $M$ là điểm cần tìm. Nó phải thỏa mãn đẳng thức $|AM|=|MB|$. Vì điểm này nằm trên trục $Ox$ nên tọa độ của nó là $(x;0;0)$, vì vậy ta có : $|AM|=\sqrt{(x-2)^2+(-4)^2+5^2},|MB|=\sqrt{(x+3)^2+2^2+7^2}$.

Từ đó, sau khi bình phương ta được: $(x-2)^2+41=(x+3)^2+53$ hay $10x=-17$, nghĩa là $x=-1,7$.

Vì vậy điểm cần tìm là $M(-1,7;0;0)$.

234. Cho các điểm $A(3;3;3)$ và $B(-1;5;7)$. Tìm tọa độ các điểm $C$ và $D$ chia đoạn $AB$ thành ba phần bằng nhau.

235. Cho các tam giác: $A(1;2;3),B(7;10;3),C(-1;3;1)$. Chứng minh rằng góc $A$ tù.

236. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác có các đỉnh $A(2;3;4),B(3;1;2),C(4;-1;3)$.

237. Điểm $M$, cách đều các điểm $A(3;1;4)$ và $B(-4;5;3)$, chia đoạn $OC$ của trục $Oy$ từ gốc tọa độ đến điểm $C(0;6;0)$ theo tỷ số nào?

238. Tìm điểm nằm trên trục $Oz$ cách đều các điểm $M_1(2;4;1)$ và $M_2(-3;2;5)$.

239. Tìm điểm trên mặt phẳng $xOy$ cách đều các điểm $A(1;-1;5),B(3;4;4),C(4;6;1)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 11-02-2019 - 06:44

[tritanngo99]

Phần 2: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TÍNH ĐƠN GIẢN NHẤT TRÊN CHÚNG.

  Vectơ tự do $\vec{a}$ (tức là vectơ có thể chuyển đến điểm bất kỳ của không gian mà không thay đổi độ dài và hướng) cho trong không gian tọa độ $Oxyz$ có thể biểu diễn dưới dạng: $\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}$.

 Cách biểu diễn vectơ như vậy gọi là cách phân tích vectơ theo các trục tọa độ hay phân tích theo các vectơ đơn vị cơ sở.

  Ở đây $a_x,a_y,a_z$ là các hình chiếu của vectơ $\vec{a}$ trên các trục tọa độ tương ứng (chúng được gọi là các tọa độ của vectơ \vec{a}), $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ là các vectơ đơn vị của các trục này (các vectơ đơn vị có hướng trùng với hướng dương của các trục tương ứng).

  Ta gọi các vectơ $a_x\vec{i},a_y\vec{j},a_z\vec{k}$ mà vectơ $\vec{a}$ biểu diễn dưới dạng tổng của chúng, là các thành phần của vectơ $\vec{a}$ theo các trục tọa độ.

  Độ dài (môđun) của vectơ $\vec{a}$ ký hiệu là $a$ hay $|\vec{a}|$ và xác định theo công thức $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$.

Hướng của vectơ $\vec{a}$ được xác định bởi các góc $\alpha, \beta, \gamma$, tạo thành bởi vectơ đó với các trục $Ox,Oy$ và $Oz$. Côsin của các góc này (gọi là các côsin chỉ hướng của vectơ) được xác định theo các công thức: 

$cos \alpha=\frac{a_x}{a}=\frac{a_x}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}};cos \beta=\frac{a_y}{a};cos \gamma=\frac{a_z}{a}$.

 Các côsin chỉ hướng của vectơ liên hệ với nhau qua hệ thức $cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1$.

  Nếu cho các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng cách phân tích chúng theo các vectơ đơn vị thì tổng và hiệu của chúng được xác định theo các công thức: $\vec{a}\pm \vec{b}=(a_x\pm b_x)\vec{i}+(a_y\pm b_y)\vec{j}+(a_z\pm b_z)\vec{k}$

  Cần nhớ rằng tổng của các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có gốc chung được biểu diễn bằng một vectơ cùng gốc và trùng với đường chéo của hình bình hành có các cạnh là vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Hiệu $\vec{a}-\vec{b}$ của các vectơ này được biểu diễn bằng vectơ trùng với đường chéo thứ hai cũng của hình bình hành ấy, trong đó gốc của vectơ này đặt tại ngọn của vectơ $\vec{b}$, còn ngọn đặt tại ngọn của $\vec{a}$ (h.16).

Hình 16+hình 17.

  Tổng của một số tùy ý các vectơ có thể tìm được theo quy tắc đa giác (h.17)

  Tích của vectơ $\vec{a}$ với nhân tử vô hướng $m$ được xác định theo công thức $m\vec{a}=ma_x\vec{i}+ma_y\vec{j}+ma_z\vec{k}$.

  Cần nhớ rằng các vectơ $\vec{a}$ và $m\vec{a}$ song song (cộng tuyến) và hướng về cùng một phía nếu $m>0$ và khác phía nếu $m<0$.

  Đặc biệt nếu $m=\frac{1}{a}$ thì vectơ $\frac{\vec{a}}{a}$ có độ dài bằng đơn vị và hướng trùng với hướng của vectơ $\vec{a}$. Vectơ này được gọi là vectơ đơn vị của vectơ $\vec{a}$ và ký hiệu là $\vec{a_0}$.

  Do đó $\vec{a_0}=\frac{\vec{a}}{a}$ hay $\vec{a}=a\vec{a_0}$.

  Ta gọi $\vec{OM}$ có gốc đặt tại gốc tọa độ còn ngọn đặt tại điểm $M(x;y;z)$ là bán kính vectơ của điểm $M$ và ký hiệu là $\vec{r}(M)$ hay đơn giản là $\vec{r}$. Vì các tọa độ của nó trùng với các tọa độ của điểm $M$ nên phân tích nó theo các vectơ đơn vị có dạng $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.

  Vectơ $\vec{AB}$ có gốc tại điểm $A(x_1;y_1;z_1)$ và ngọn tại điểm $B(x_2;y_2;z_2)$ có thể viết dưới dạng $\vec{AB}=\vec{r_2}-\vec{r_1}$.

   trong đó $\vec{r_2}$ là bán kính vectơ của điểm $B$, còn $\vec{r_1}$ là bán kính vectơ của điểm $A$. Vì vậy phân tích vectơ $\vec{AB}$ theo các vectơ đơn vị có dạng: $\vec{AB}=(x_2-x_1)\vec{i}+(y_2-y_1)\vec{j}+(z_2-z_1)\vec{k}$.

 Độ dài của nó trùng với khoảng cách giữa các điểm $A$ và $B$ $|\vec{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$.

  Theo các công thức nêu trên, hướng của vectơ $\vec{AB}$ được xác định bởi các côsin chỉ hướng: $cos \alpha =\frac{x_2-x_1}{d};cos\beta =\frac{y_2-y_1}{d};cos\gamma =\frac{z_2-z_1}{d}$.

Các ví dụ: 

240. Chia cạnh $AB$ của tam giác $ABC$ bằng các điểm $M$ và $N$ thành ba phần bằng nhau: $|AM|=|MN|=|NB|$. Tìm vectơ $\vec{CM}$, Nếu $\vec{CA}=\vec{a},\vec{CB}=\vec{b}$.

Giải. Ta có: $\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$. Do đó $\vec{AM}=\frac{\vec{b}-\vec{a}}{3}$. Vì $\vec{CM}=\vec{CA}+\vec{AM}$ nên $\vec{CM}=\vec{a}+\frac{\vec{b}-\vec{a}}{3}=\frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}$.

241. Trong tam giác $ABC$ đường thẳng $AM$ là đường phân giác của góc $BAC$, trong đó điểm $M$ nằm trên cạnh $BC$. Tìm $\vec{AM}$ nếu $\vec{AB}=\vec{b},\vec{AC}=\vec{c}$.

Giải. Ta có: $\vec{BC}=\vec{c}-\vec{b}$. Từ tính chất của đường phân giác trong của tam giác ta suy ra rằng $\frac{|\vec{MB}|}{|\vec{MC}|}=\frac{b}{c}$, từ đó ta được $\frac{|\vec{BM}|}{|\vec{MC}|}=\frac{b}{b+c}$. Do đó $\vec{BM}=\frac{b}{b+c}(\vec{c}-\vec{b})$.

 Vì $\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}$, nên $\vec{AM}=\vec{b}+\frac{b}{b+c}(\vec{c}-\vec{b})=\frac{b\vec{c}+c\vec{b}}{b+c}$.

242. Bán kính vectơ của các đỉnh tam giác $ABC$ là $\vec{r_1},\vec{r_2}$ và $\vec{r_3}$. Tìm bán kính vectơ của giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác.

Giải. Ta có: $\vec{BC}=\vec{r_3}-\vec{r_2};\vec{BD}=\frac{\vec{r_3}-\vec{r_2}}{2}$ ($D$ là trung điểm của cạnh $BC$); $\vec{AB}=\vec{r_2}-\vec{r_1};\vec{AD}=\vec{BD}+\vec{AB}=\frac{\vec{r_3}-\vec{r_2}}{2}+\vec{r_2}-\vec{r_1}=\frac{\vec{r_2}+\vec{r_3}-2\vec{r_1}}{2};\vec{AM}=\frac{2}{3}\vec{AD}$ ($M$ là giao điểm các trung tuyến), vì vậy $\vec{AM}=\frac{\vec{r_2}+\vec{r_3}-2\vec{r_1}}{3};\vec{r}=\vec{OM}=\vec{r_1}+\vec{AM}=\frac{\vec{r_2}+\vec{r_3}-2\vec{r_1}}{3}+\vec{r_1}$ hay, cuối cùng: $\vec{r}=\frac{\vec{r_1}+\vec{r_2}+\vec{r_3}}{3}$.

243. Tìm độ dài của vectơ  $\vec{a}=20\vec{i}+30\vec{j}-60\vec{k}$ và các côsin chỉ hướng của nó.

Giải. Ta có: $a=\sqrt{20^2+30^2+60^2}=70,cos \alpha=\frac{20}{70}=\frac{2}{7},cos \beta=\frac{30}{70}=\frac{3}{7},cos\gamma=\frac{-60}{70}=-\frac{6}{7}$.

244. Tìm vectơ $\vec{a}=\vec{AB}$ nếu $A(1;3;2)$ và $B(5;8;-1)$.

Giải. Các hình chiếu của vectơ $\vec{AB}$ trên các trục tọa độ là hiệu các tọa độ tương ứng của các điểm $B$ và $A$.

$a_x=5-1=4;a_y=8-3=5;a_z=-1-2=-3$.

Do đó $\vec{AB}=4\vec{i}+5\vec{j}-3\vec{k}$.

245. Cho tam giác $ABC$. Lấy điểm $M$ trên cạnh $BC$ sao cho $\frac{|\vec{BM}|}{|\vec{CM}|}=\lambda$. Tìm $\vec{AM}$ nếu $\vec{AB}=\vec{b},\vec{AC}=\vec{c}$.

246. Cho $\vec{AB}=\vec{a}+2\vec{b},\vec{BC}=-4\vec{a}-\vec{b},\vec{CD}=-5\vec{a}-3\vec{b}$. Chứng minh rằng $ABCD$ là hình thang.

247.Tìm hình chiếu của vectơ $\vec{a}$ trên các trục tọa độ, nếu $\vec{a}=\vec{AB}+\vec{CD},A(0;0;1),B(3;2;1),C(4;6;5)$ và $D(1;6;3)$.

248. Tìm độ dài của vectơ $\vec{a}=m\vec{i}+(m+1)\vec{j}+m(m+1)\vec{k}$.

249. Cho bán kính vectơ của các đỉnh tam giác $ABC: \vec{r_A}=\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k},\vec{r_B}=3\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k},r_C=\vec{i}+4\vec{j}+\vec{k}$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ đều.

250. Tính môđun của vectơ $\vec{a}=\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}-\frac{4(\vec{i}+2\vec{j})+3\vec{k}}{5}$ và tìm các côsin chỉ hướng của nó.

251. Cho các điểm $M_1(1;2;3)$ và $M_2(3;-4;6)$. Tìm độ dài và hướng của vectơ $\vec{M_1M_2}$.

252. Cho vectơ $\vec{a}=4\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k}$. Tìm vectơ $\vec{b}$ nếu $|\vec{b}|=|\vec{a}|,b_y=a_y$  và $b_x=0$.

253. Bán kính vectơ của điểm $M$ tạo với trục $Oy$ góc $60^0$ và với trục $Oz$ góc $45^0$; độ dài của nó $r=8$. Tìm các tọa độ của điểm $M$ nếu hoành độ của nó âm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 12-02-2019 - 06:44

[tritanngo99]

Phần 3: TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ TÍCH VECTƠ. TÍNH HỖN HỢP.

1. Tích vô hướng.

  Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là tích các độ dài của hai vectơ này với côsin của góc $\phi$ giữa chúng : $\vec{a}\vec{b}=|\vec{a}\vec{b}cos \phi|$.

                                                                             CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

1) $\vec{a}\vec{a}=a^2$ hay $\vec{a}^2=a^2$.

2) $\vec{a}\vec{b}=0$ nếu $\vec{a}=0$ hoặc $\vec{b}=0$ hoặc $\vec{a}\bot\vec{b}$.

3) $\vec{a}\vec{b}=\vec{b}\vec{a}$ (luật giao hoán).

4) $\vec{a}(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\vec{b}+\vec{a}\vec{c}$ (luật phân bố).

5) $(m\vec{a})\vec{b}=\vec{a}.(m\vec{b})=m(\vec{a}\vec{b})$ (luật kết hợp đối với nhân thức vô hướng).

  Tích vô hướng của các vectơ đơn vị của các trục tọa độ $\vec{i}^2=\vec{j}^2=\vec{k}^2=1;\vec{i}\vec{j}=\vec{i}\vec{k}=\vec{k}\vec{j}=0$.

 Nếu cho vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ dưới dạng các tọa độ của chúng $a=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}+z_1\vec{k},\vec{b}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}+z_2\vec{k}$ thì tích vô hướng của các vectơ này xác định theo công thức: $\vec{a}\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$.

   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 12-02-2019 - 07:39

[tritanngo99]

2. Tích vectơ.

  Tích vectơ của vectơ $\vec{a}$ với vectơ $\vec{b}$ là vectơ thứ ba $\vec{c}$ được xác định như sau (h.18):

a) Môđun của vectơ $\vec{c}$ bằng diện tích hình bình hành dựng trên các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}(\vec{c}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.sin \phi)$, trong đó $\phi$ là góc giữa các vectơ $vec{a}$ và $\vec{b}$.

b) Vectơ $\vec{c}$ thẳng góc với các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$

c) Sau khi đưa về điểm gốc chung các vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ định hướng đối với nhau tương ứng như các vectơ đơn vị $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ (trong hệ tọa độ thuận chúng lập thành cái gọi là bộ ba vectơ thuận). 

Hình 18.

                                                                                CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VECTƠ

1. $\vec{b}\times\vec{a}=-\vec{a}\times\vec{b}$ nghĩa là tích vectơ không có tính giao hoán.

2. $\vec{a}\times\vec{b}=0$ nếu $\vec{a}=0$ hoặc $\vec{b}=0$ hoặc $\vec{a}\parallel \vec{b}$.

3. $(m\vec{a})\times\vec{b}=\vec{a}x(m\vec{b})=m(\vec{a}\times\vec{b})$ (tính chất kết hợp đối với nhân thức vô hướng).

4. $\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$ (tính chất phân bố).

  Tích vectơ của các vectơ đơn vị $\vec{i},\vec{j},\vec{k}:\vec{i}\times\vec{i}=\vec{j}\times\vec{j}=\vec{k}\times\vec{k}=\vec{0}$.

$\vec{i}\times\vec{j}=-\vec{j}\times\vec{i}=k;j\vec{k}=-\vec{k}\times\vec{j}=\vec{i},k\vec{i}=-\vec{i}\times\vec{k}=\vec{j}$..

  Tìm tích vectơ của các vectơ $\vec{a}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}+z_1\vec{k}$ và $\vec{b}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}+z_2\vec{k}$ một cách thuận tiện hơn cả là theo công thức: $\vec{a}\times\vec{b}=\begin{align*}\begin{vmatrix} i&j&k\\ x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2 \end{vmatrix}\end{align*}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 12-02-2019 - 18:03
Dùng \times cho ký hiệu cross product nhé.

[tritanngo99]

3. Tích hỗn hợp.

 Tích hỗn hợp của các vectơ $\vec{a},\vec{b}$ và $\vec{c}$ là tích vô hướng của vectơ $\vec{a}x\vec{b}$ với vectơ $\vec{c}: (\vec{a}x\vec{b}).\vec{c}$.

  Tích hỗn hợp của ba vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ có môđun bằng thể tích hình hộp dựng trên các vectơ này.

                                                                                              CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH HỖN HỢP

1. Tích hỗn hợp của ba vectơ bằng không nếu:

a) Có ít nhất một trong các vectơ nhân thức bằng không;

b) hai trong các vectơ nhân thức song song (cộng tuyến);

c) cả ba vectơ song song với cùng một mặt phẳng (đồng phẳng).

2. Tích hỗn hợp không đổi nếu ta đổi chỗ dấu tích vectơ $(X)$ và tích vô hướng $(.)$, nghĩa là $(\vec{a}x\vec{b}).\vec{c}=\vec{a}.(\vec{b}x\vec{c})$. Theo tính chất này ta quy ước viết tích hỗn hợp của các vectơ $\vec{a},]vec{b}$ và $\vec{c}$ dưới dạng $\vec{a}\vec{b}\vec{c}$.

3. Tích hỗn hợp không đổi chỗ nếu ta hoán vị vòng quanh các vectơ $\vec{a}\vec{b}\vec{c}=\vec{b}\vec{c}\vec{a}=\vec{c}\vec{a}\vec{b}$.

4. Khi đổi chỗ hai vectơ bất kỳ thì tích hỗn hợp chỉ đổi dấu: $\vec{b}\vec{a}\vec{c}=-\vec{a}\vec{b}\vec{c};\vec{c}\vec{b}\vec{a}=-\vec{a}\vec{b}\vec{c};\vec{a}\vec{c}\vec{b}=-\vec{a}\vec{b}\vec{c}$.

  Nếu cho các vectơ dưới dạng phân tích theo các vectơ đơn vị cơ sở:

$\vec{a}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}+z_1\vec{k};\vec{b}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}+z_2\vec{k};\vec{c}=x_3\vec{i}+y_3\vec{j}+z_3\vec{k}$ thì 

$\vec{a}\vec{b}\vec{c}=\begin{align*}\begin{vmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3 \end{vmatrix}\end{align*}$.

 Từ các tính chất của tích hỗn hợp của ba vectơ ta suy ra:

a) Điều kiện cần và đủ để ba vectơ đồng phẳng $\vec{a}\vec{b}\vec{c}=0$.

b) thể tích $V_1$ của hình hộp dựng trên các vectơ $\vec{a},\vec{b}$ và $\vec{c}$ và thể tích $V_2$ của hình chóp tam giác tạo thành bởi các vectơ đó tìm được theo công thức: $V_1=|\vec{a}\vec{b}\vec{c}|;V_2=\frac{1}{6}V_1=\frac{1}{6}|\vec{a}\vec{b}\vec{c}|$.

Các ví dụ:

254. Tìm tích vô hướng của các vectơ $\vec{a}=3\vec{i}+4\vec{j}+7\vec{k}$ và $\vec{b}=2\vec{i}-5\vec{j}+2\vec{k}$.

Giải. Ta được $\vec{a}\vec{b}=3.2+4.(-5)+7.2=0$. Vì $\vec{a}.\vec{b}=0$ nên $\vec{a}\bot \vec{b}$.

255. Cho các vectơ $\vec{a}=m\vec{i}+3\vec{j}+4\vec{k}$ và $\vec{b}=4\vec{i}+m\vec{j}-7\vec{k}$. Với giá trị nào của $m$ thì các vectơ này thẳng góc với nhau?

Giải. Ta có tích vô hướng của các vectơ này $\vec{a}\vec{b}=4m+3m-28$. Vì $\vec{a}\bot \vec{b}$ nên $\vec{a}\vec{b}=0$. Do đó $7m-28=0$, nghĩa là $m=4$.

256. Tìm $(5\vec{a}+3\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b})$ nếu $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,\vec{a}\bot \vec{b}$.

Giải. Ta có: $(5\vec{a}+3\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b})=10\vec{a}^2-5\vec{a}\vec{b}+6\vec{a}\vec{b}-3\vec{b}^2=10a^2-3b^2=40-27=13$.

257. Xác định góc giữa các vectơ $\vec{a}=\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$ và $\vec{b}=6\vec{i}+4\vec{j}-2\vec{k}$.

Giải. Vì $\vec{a}\vec{b}=abcos\phi$ nên $cos \phi=\frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|}$. Ta có: $\vec{a}\vec{b}=1.6+2.4+3.(-2)=8,a=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14},b=\sqrt{36+16+4}=2\sqrt{14}$. Do đó $cos \phi=\frac{8}{\sqrt{14}.2\sqrt{14}}=\frac{2}{7}$ và $\phi=arccos \frac{2}{7}$.

258. Tìm vectơ đơn vị cùng hướng với vectơ $\vec{a}=\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}$.

Giải. Ta tìm độ dài của $\vec{a}: a=\sqrt{1+4+4}=3,\vec{a_0}=\frac{\vec{a}}{3}$ nên $\vec{a_0}=\frac{1}{3}\vec{i}+\frac{2}{3}\vec{j}+\frac{2}{3}\vec{k}$.

259. Tìm tích vectơ của các vectơ $\vec{a}=2\vec{i}+3\vec{j}+5\vec{k}$ và $\vec{b}=\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$.

Giải. Ta có: $\vec{a}x\vec{b}=\begin{align*}\begin{vmatrix} i&j&k\\ 2&3&5\\ 1&2&1\end{vmatrix}\end{align*}$

$\iff \vec{a}x\vec{b}=-7\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}$.

260. Tính diện tích hình bình hành dựng trên các vectơ $\vec{a}=6\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}$ và $\vec{b}=3\vec{i}-2\vec{j}+6\vec{k}$.

Giải. Ta tìm tích vectơ của các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

$\vec{a}x\vec{b}=\begin{align*}\begin{vmatrix} i&j&k\\6&3&-2\\3&-2&6 \end{vmatrix}\end{align*}$

$\iff \vec{a}x\vec{b}=14\vec{i}-42\vec{j}-21\vec{k}$.

  Vì môđun của tích vectơ của hai vectơ bằng diện tích hình bình hành dựng trên chung, nên $S=|\vec{a}x\vec{b}|=\sqrt{14^2+42^2+21^2}=49$ (đơn vị diện tích).

261. Tính diện tích tam giác với các đỉnh $A(1;1;1),B(2;3;4),C(4;3;2)$.

Giải. Ta tìm các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

$\vec{AB}=(2-1)\vec{i}+(3-1)\vec{j}+(4-1)\vec{k}=\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$

$\vec{AC}=(4-1)\vec{i}+(3-1)\vec{j}+(2-1)\vec{k}=3\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$.

Diện tích tam giác $ABC$ bằng nửa diện tích hình bình hành dựng trên các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$, vì vậy ta tìm tích vectơ của các vectơ này.

$\vec{AB}x\vec{AC}=\begin{align*}\begin{vmatrix} i&j&k\\ 1&2&3\\ 3&2&1\end{vmatrix}\end{align*}=-4\vec{i}+8\vec{j}-4\vec{k}$.

Do đó: $S_{ABC}=\frac{1}{2}|\vec{AB}x\vec{AC}|=\frac{1}{2}\sqrt{16+64+16}=\sqrt{24}$(đ.v.d.t).

262. Tính diện tích hình bình hành dựng trên các vectơ $\vec{a}+3\vec{b}$ và $3\vec{a}+\vec{b}$ nếu $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1,\widehat{\vec{a},\vec{b}}=30^0$.

Giải. Ta có: 

$(\vec{a}+3\vec{b})x(3\vec{a}+\vec{b})=3\vec{a}x\vec{a}+\vec{a}x\vec{b}+9\vec{b}x\vec{a}+3\vec{b}x\vec{b}=3.0+\vec{a}x\vec{b}-9\vec{a}x\vec{b}+3.0=-8\vec{a}x\vec{b}$.

(Vì $\vec{a}x\vec{a}=\vec{b}x\vec{b}=0,\vec{b}x\vec{a}=-\vec{a}x\vec{b}$). Vậy $S=8|\vec{a}x\vec{b}|=8.1.1.sin 30^0=4$(đ.v.d.t).

263. Tìm tích hỗn hợp của các vectơ $\vec{a}=2\vec{i}-\vec{j}-\vec{k},\vec{b}=\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k},\vec{c}=\vec{i}+\vec{j}+4\vec{k}$.

Giải. Ta có: $\vec{a}\vec{b}\vec{c}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 2&-1&-1\\ 1&3&-1\\ 1&1&4\end{vmatrix}\end{align*}=26+5+2=33$.

264. Chứng minh rằng các vectơ $\vec{a}=2\vec{i}+5\vec{j}+7\vec{k},\vec{b}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k},\vec{c}=\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}$ đồng phẳng.

Giải. Ta tìm tích hỗn hợp của các vectơ.

$\vec{a}\vec{b}\vec{c}=\begin{align*}\begin{vmatrix}2&5&7\\ 1&1&-1\\ 1&2&2 \end{vmatrix}\end{align*}=8-15+7=0$.

Vì $\vec{a}\vec{b}\vec{c}=0$ nên đồng phẳng.

265. Tìm thể tích hình chóp tam giác với các đỉnh $A(2;2;2),B(4;3;3),C(4;5;4),D(5;5;6)$.

Giải. Ta tìm các vectơ $\vec{AB},\vec{AC}$ và $\vec{AD}$ trùng với các cạnh bên của hình chóp đi qua đỉnh $A:\vec{AB}=2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k},\vec{AC}=2\vec{i}+3\vec{j}+2\vec{k},\vec{AD}=3\vec{i}+3\vec{j}+4\vec{k}$.

  Tính tích hỗn hợp của các vectơ này: $\vec{AB}\vec{AC}\vec{AD}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 2&1&1\\ 2&3&2\\ 3&3&4\end{vmatrix}\end{align*}=2.6-1.2-1.3=7$.

Vì thể tích hình chóp bằng $\frac{1}{6}$ thể tích hình hộp dựng trên các vectơ $\vec{AB},\vec{AC}$ và $\vec{AD}$ nên $V=\frac{7}{6}$ (đ.v.d.t)

266. Tính $(\vec{a}-\vec{b})(\vec{b}-\vec{c})(\vec{c}-\vec{a})$.

Giải. Vì $(\vec{a}-\vec{b})+(\vec{b}-\vec{c})+(\vec{c}-\vec{a})=0$ nên các vectơ này đồng phẳng.

Do đó tích hỗn hợp của các vectơ này bằng không, nghĩa là $(\vec{a}-\vec{b})(\vec{b}-\vec{c})(\vec{c}-\vec{a})=0$.

268. Xác định góc giữa các vectơ $\vec{a}=3\vec{i}+4\vec{j}+5\vec{k}$ và $\vec{b}=4\vec{i}+5\vec{j}-3\vec{k}$.

269. Với giá trị nào của $m$ các vectơ $\vec{a}=m\vec{i}+\vec{j}$ và $\vec{b}=3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}$ thẳng góc với nhau.

270. Tìm tích vô hướng của các vectơ $2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}$ và $5\vec{a}+6\vec{b}+7\vec{c}$, nếu $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2,|\vec{c}|=3,(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=(\widehat{\vec{a},\vec{c}})=(\widehat{\vec{b},\vec{c}})=\frac{\pi}{3}$.

271. Tìm công của lực $F$ trên chuyển dịch $s$, nếu $F=2,s=5$ và góc $\phi=(\widehat{F,s})=\frac{\pi}{6}$.

272. Tìm vectơ đơn vị thẳng góc với các vectơ $\vec{a}=\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}$ và $\vec{b}=2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$.

273. Các vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ có độ dài bằng nhau và từng cặp tạo thành những góc bằng nhau. Tìm vectơ $\vec{c}$ nếu $\vec{a}=\vec{i}+\vec{j},\vec{b}=\vec{j}+\vec{k}$.

274. Cho các vectơ $\vec{a}=2\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$ và $\vec{b}=6\vec{i}+3\vec{j}+2\vec{k}$. Tìm $hc_{\vec{a}}\vec{b}$ và $hc_{\vec{b}}\vec{a}$ (hình chiếu của vectơ $\vec{b}$ lên $\vec{a}$ và hình chiếu của vectơ $\vec{a}$ lên $\vec{b}$).

275. Cho các bán kính vectơ của ba đỉnh liên tiếp của hình bình hành $ABCD$.

$\vec{r_A}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k},\vec{r_B}=\vec{i}+3\vec{j}+5\vec{k},\vec{r_C}=7\vec{i}+9\vec{j}+11\vec{k}$.

276. Chứng minh rằng các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không thể thẳng góc với nhau, nếu $\vec{a}.\vec{i}>0,\vec{a}.\vec{j}>0,\vec{a}.\vec{k}>0,\vec{b}.\vec{i}<0,\vec{b}.\vec{j}<0,\vec{b}.\vec{k}<0$.

277. Chứng minh rằng các vectơ $\vec{a}=\vec{i}+\vec{j}+m\vec{k},\vec{b}=\vec{i}+\vec{j}+(m+1)\vec{k}$ và $\vec{c}=\vec{i}-\vec{j}+m\vec{k}$ 

không đồng phẳng với bất kỳ một giá trị nào của $m$.

278. Các số $x_1,x_2,x-3,y_1,y_2,y_3,z_1,z_2,z_3$ thỏa mãn các phương trình $\begin{align*}\begin{vmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\end{vmatrix}\end{align*}$ và $\left\{\begin{array}{I} x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0\\ x_1x_3+y_1y_3+z_1z_3=0\\x_2x_3+y_2y_3+z_2z_3=0 \end{array}\right.$ có thể khác không được không?

279. Tìm tích vectơ của các vectơ $\vec{a}=2\vec{i}+5\vec{j}+\vec{k},\vec{b}=\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}$.

280. Tính diện tích tam giác có các đỉnh $A(2;2;2), B(4;0;3)$ và $C(0;1;0)$.

281. Tìm tích hỗn hợp của các vectơ $\vec{a}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k},\vec{b}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k},\vec{c}=2\vec{i}+3\vec{j}+4\vec{k}$.

282. Chứng minh rằng các vectơ $\vec{a}=7\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k},\vec{b}=3\vec{i}-7\vec{j}+8\vec{k},\vec{c}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}$ đồng phẳng.

283. Tính thể tích hình chóp tam giác có các đỉnh $A(0;0;1),B(2;3;5),C(6;2;3)$ và $D(3;7;2)$.

284. Tìm độ dài đường cao hạ xuống mặt bên $BCD$ của hình chóp trong bài trên.

285. Chứng minh rằng các điểm $A(5;7;-2),B(3;1;-1),C(9;4;-4)$ và $D(1;5;0)$ nằm trên cùng một mặt phẳng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 13-02-2019 - 17:07