Chủ đề này có 1 trả lời

[PSG4224]

cho xyz=1 chứng minh rằng: $\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}\leq 1$

[PhanDHNam]

Đề thiếu x, y, z là các số dương nhé  

Đặt $a=\sqrt[3]{x}; b=\sqrt[3]{y}; c=\sqrt[3]{z}\Rightarrow abc=1$ và bất đẳng thức trở thành 

$\sum \frac{1}{a^3+b^3+1}= \sum \frac{1}{a^3+b^3+abc}$ 

Mặt khác do $a^3+b^3\geq ab(a+b)\Rightarrow a^3+b^3+abc\geqslant ab(a+b+c)$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq \sum \frac{1}{ab(a+b+c)}=\sum \frac{c}{abc(a+b+c)}=\sum \frac{c}{a+b+c}=1$

Done.