Đến nội dung


Hình ảnh

Tính $P(0)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 k30101201

k30101201

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết
  • Sở thích:Mathematic - Latex - Linux

Đã gửi 16-02-2019 - 21:01

Cho tam đa thức bậc hai $P(x)$ thỏa mãn $x^2-2x+3\leq P(x)\leq 15x^2-30x+17$ với mọi $x$ và $P(13)=2018$. Tính $P(0)$.


Tri thức là nền tảng cho mọi thành công của bạn!

#2 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1556 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Ngoại Thương tp Hồ Chí Minh
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 23-08-2021 - 10:11

Đã tìm ra 1 tam thức bậc 2 thỏa yêu cầu bài toán: $ P(x) = 14(x-1)^2 +2$

 

Còn một công đoạn nữa là chứng minh đây là đa thức duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#3 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1382 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{HCMUS}}$
  • Sở thích:analysis [ÒwÓ]

Đã gửi 23-08-2021 - 10:37

$(x-1)^2+2\leq P(x)\leq 15(x-1)^2+2$ nên $2\leq P(1)\leq 2$.

:) Chắc là phán được $P(x)$ có đỉnh parabol tại $(1,2)$.

Suy ra $P(x)=a(x-1)^2+2$.

Thế vô được $a=14$.

 

P/S: Chỗ phán sao sao í @@ cảm giác không ổn lắm!


$\mathfrak{LeHoangBao - CTG - HCMUS}$

#4 youknower

youknower

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Đã gửi 23-08-2021 - 11:08

$(x-1)^2+2\leq P(x)\leq 15(x-1)^2+2$ nên $2\leq P(1)\leq 2$.

:) Chắc là phán được $P(x)$ có đỉnh parabol tại $(1,2)$.

Suy ra $P(x)=a(x-1)^2+2$.

Thế vô được $a=14$.

 

P/S: Chỗ phán sao sao í @@ cảm giác không ổn lắm!

$(x-1)^2+2\leq P(x)$ nên $min[(x-1)^2+2]\leq P(x)$ 

mà $min[(x-1)^2+2] =2$ và $P(1) =2$ nên $P(x)$ có GTNN tại $(1,2)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youknower: 23-08-2021 - 11:10


#5 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 31-08-2021 - 22:28

Theo đề bài ta có $\left ( x-1 \right )^2\leq P(x)-2\leq 15\left ( x-1 \right )^2$ với mọi $x$  (*)

 

Cho $x=1$ thì $0 \leq P(1)-2 \leq 0$  suy ra  $P(1)=2$

 

Đặt $G(x)=P(x)-2$ nên $degG=degP=2$ và $G(1)=P(1)-2=0$ hay $1$ là nghiệm của $G(x)$

 

Khi đó $G(x)$ được viết lại thành $G(x)=a(x-1)(x-b)$ với $a,b \in \mathbb{R} $

 

Từ (*) ta có $\left ( x-1 \right )^2\leq a(x-1)(x-b), \forall x$  hay $\left ( x-1 \right )\left ( \left ( a-1 \right )x+1-ab \right )\geq 0 , \forall x$ (**)

 

Từ (**) cho $x=b$ ta có $-(b-1)^2 \geq 0$ suy ra $b=1$, do đó $G(x)=a(x-1)^2$

 

Ta lại có $2016=P(13)-2=G(13)=144a$  suy ra $a=14$

 

Khi đó $P(0)=G(0)+2=14+2=16$

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 31-08-2021 - 22:29


#6 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1556 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Ngoại Thương tp Hồ Chí Minh
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 02-09-2021 - 21:34

Giỏi quá bạn già! Vậy là bài toán unsolved  hơn 2 năm đã được giải quyết!


Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh