Chủ đề này có 1 trả lời

[toanND]

Tìm hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn:

$i) f(1)=2$

$ii) f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$

[Khoa Linh]

Tìm hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn:

$i) f(1)=2$

$ii) f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$

 

$f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$ (1)

Thay $x=0,y=1$ vào (1) rồi kết hợp $f(1)=2$ suy ra ta có $f(0)=1$.  (2)

Thay $y=1$ vào (1) ta sẽ có $f(x+1)=f(x)+1$. (3)

Từ (3) ta sẽ dễ dàng chứng minh theo quy nạo thì ta có $f(n)=n+1, \forall n \in \mathbb{Z}$ (4)

Với $n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$ thì ta có $f(1)=f(n.\dfrac{1}{n})=f(n).f \left (\dfrac{1}{n}\right )-f\left( n+\dfrac{1}{n} \right)+1$ (5)

Để ý ta có $f(n)=n$ và $f\left( n+\dfrac{1}{n} \right) =n+f\left(\dfrac{1}{n}\right)$ do (3) và (4).

Vậy từ (5) ta rút ra được $f\left(\dfrac{1}{n}\right)= \dfrac{1}{n}+1, \forall n \in  \mathbb{Z}, n \neq 0.$ (6)

Vậy với số hữu tỷ $q=\dfrac{a}{b},$ $a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$ thì ta có 

$f\left( \dfrac{a}{b} \right)=f(a).f\left( \dfrac{1}{b} \right)-f\left( a+\dfrac{1}{b} \right)+1=\dfrac{a}{b}+1$ (7)

 

Từ (2) và (7) ta có $f(x)=x+1, \forall x \in  \mathbb{Q}.$