Tính tổng $S=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+...+nx^{n-1}$ với $x\neq 1$
Tính tổng $S=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+...+nx^{n-1}$ với $x\neq 1$
Tính tổng $S=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+...+nx^{n-1}$ với $x\neq 1$
Nhân $x$ vào 2 vế:
$Sx=x+2x^{2}+3x^{3}+4x^{4}+...+nx^{n}$
Vế trừ vế:
$S-Sx=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...+x^{n-1}-nx^{n}$
Áp dụng công thức tính tổng $S_{n}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ cho chuỗi $1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...+x^{n-1}$ ta có:
$S-Sx=1+x^{2}+x^{3}+...+x^{n-1}-nx^{n}=\frac{1-x^{n}}{1-x}-nx^{n}$
$S\left ( 1-x \right )=\frac{1-x^{n}-nx^{n}+nx^{n+1}}{1-x}=\frac{nx^{n+1}-\left ( n+1 \right )x^{n}+1}{1-x}$
Vậy:
$S=\frac{nx^{n+1}-\left ( n+1 \right )x^{n}+1}{\left ( 1-x \right )^{2}}$
++++++++++++++++++++++++++++
Everything is impossible until you do it.
“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh