Tính giới hạn dãy số:
1, $u_n=\frac{(n+1)\sqrt{1^3+2^3+....+n^3}}{3n^3+n+2}$
2, $u_n=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+....+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$
Lời giải:
1. Ta có: $1^3+2^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2$ (Chứng minh bằng quy nạp)
và $1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$
Do đó: $u_n=\frac{(n+1)\sqrt{1^3+2^3+...+n^3}}{3n^3+n+2}=\frac{(n+1)(1+2+...+n)}{3n^3+n+2}=\frac{(n+1).\frac{n(n+1)}{2}}{3n^3+n+2}=\frac{n^3+2n^2+n}{6n^3+4n+4}$.
Nên $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=\frac{1}{6}$.
2. Ta có: $\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$.
Do đó: $u_n=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$.
$\implies \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 04-03-2019 - 13:50