Đến nội dung

Hình ảnh

BĐT trong Đề thi vào lớp 10 THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hoà


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ThinhThinh123

ThinhThinh123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết

Bài 4(1 điểm): Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{1+a^{2}}}{a}+\frac{\sqrt{1+b^{2}}}{b}-\sqrt{1+c^{2}}< 1$

 

Giúp mình nhé!!! Cảm ơn nhiều!



#2
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Bài 4(1 điểm): Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{1+a^{2}}}{a}+\frac{\sqrt{1+b^{2}}}{b}-\sqrt{1+c^{2}}< 1$

 

Giúp mình nhé!!! Cảm ơn nhiều!

Ta có: $a+b+c=abc\iff a+b=c(ab-1)\iff c=\frac{a+b}{ab-1}=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{1-\frac{1}{ab}}$.

Đặt $(\frac{1}{a};\frac{1}{b})=(x;y)$ với $x,y>0$.

Khi đó ta có: $c=\frac{x+y}{1-xy}$.

Lại có: $\frac{\sqrt{1+a^2}}{a}+\frac{\sqrt{1+b^2}}{b}-\sqrt{1+c^2}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}+\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}-\sqrt{1+c^2}$

$=\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+(\frac{x+y}{1-xy})^2}$.

Lúc này ta cần đi chứng minh: $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+(\frac{x+y}{1-xy})^2}<1$

Thật vậy:

$(1)\iff \sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}<1+\sqrt{1+(\frac{x+y}{1-xy})^2}$.

$\iff \sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}<1+\sqrt{\frac{1+x^2+y^2+x^2y^2}{(1-xy)^2}}$.

$\iff \sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}<1+\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{(1-xy)^2}}$

Thật vậy: Do $0<1-xy<1$ nên $1+\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{(1-xy)^2}}>1+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}$.

Mặt khác: $\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}+1>\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\iff (\sqrt{1+x^2}-1)(\sqrt{1+y^2}-1)>0$.

Do đó ta có điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 10-03-2019 - 05:37





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh