Chủ đề này có 1 trả lời

[ThinhThinh123]

Chứng minh : P= $(1+\sqrt{a+1})^n+(1-\sqrt{1+a})^n$

luôn là số nguyên với mọi số nguyên dương $a$

[letangphuquy chuyentin]

Không biết $n$ có tự nhiên không?

Nếu $n \in \mathbb{N}$ thì mình sẽ dùng cách chứng minh quy nạp như sau:

Đặt $P_{k} = (1+\sqrt{a+1})^{k} + (1-\sqrt{a+1})^{k}$

Xét lần lượt các TH:

$n=0 \Rightarrow P=1+1=2 \in \mathbb{Z}$

$n=1 \Rightarrow P=(1+\sqrt{a+1}) + (1-\sqrt{a+1}) = 2 \in \mathbb{Z}$

Giả sử ĐPCM đúng với $n=k-1; n=k (k \in \mathbb{N^{*}})$

Ta cần phải chứng minh nó đúng với $n=k+1$, tức là:

$P_{k+1} \in \mathbb{Z}$

Ta có: 

$2.P_{k} = 2.[(1+\sqrt{a+1})^{k} + (1-\sqrt{a+1})^{k}] = [(1+\sqrt{a+1}) + (1-\sqrt{a+1})]*[(1+\sqrt{a+1})^{k} + (1-\sqrt{a+1})^{k}]$

$ \Leftrightarrow 2.P_{k} = (1+\sqrt{a+1})^{k+1} + (1-\sqrt{a+1})^{k+1} + (1+\sqrt{a+1})^{k}*(1-\sqrt{a+1}) + (1-\sqrt{a+1})^{k}*(1+\sqrt{a+1})$

$\Leftrightarrow 2.P_{k} = P_{k+1} + (1+\sqrt{a+1})^{k-1}*(1-(a+1)) + (1-\sqrt{a+1})^{k-1}*(1-(a+1))$

$\Leftrightarrow 2.P_{k} = P_{k+1} - a.P_{k-1} \Leftrightarrow P_{k+1} = 2P_{k} + aP_{k-1} \in \mathbb{Z}$

Vậy điều phải chứng minh đúng với mọi $n \in \mathbb{N}$, nghĩa là

$P = (1+\sqrt{a+1})^{n} + (1-\sqrt{a+1})^{n} \in \mathbb{Z}$