Đề Thi HSG toán 9 Quảng Ngãi 2018-2019
Bài 1:
c)
Ta có: $4B=1.2.3.4+2.3.4.(5-1)+...+n(n+1)(n+2)[n+3-(n-1)]=n(n+1)(n+2)(n+3)$
$\Leftrightarrow 4B=n(n+3)(n+1)(n+2)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)=(m-1)(m+1)=m^2-1$ (đặt $m=n^2+3n+1$)
Ta có: $m=n^2+3n+1 \ge 1+3+1=5\Rightarrow m^2-(m-1)^2=2m-1 \geq 9 \Leftrightarrow m^2-9 \ge (m-1)^2$
Vì thế $4B=m^2-1<m^2; 4B=m^2-1>m^2-9 \ge (m-1)^2$, do đó $4B$ không phải là SCP. Vì thế B không phải là SCP.
b)
$x,y$ là các số nguyên dương nên $x,y \in \mathbb{Z}; x,y \ge 1$
Trường hợp: $y=1 \Leftrightarrow 4^x=3^y+1=4 \Leftrightarrow x=1$
Trường hợp $y \ge 2 \Rightarrow 4^x \ge 9+1 = 10 > 4 \Rightarrow x>1 \Leftrightarrow x \ge 2$
Do đó: $3^y + 1 = 16.4^{x-2} \vdots 16$
Xét dãy số $U$ được tạo bởi công thức: $\left \{ \begin{matrix} U_1=1\\ U_i \equiv 3*U_{i-1} (mod \ 3) \forall i \ge 2 i \end{matrix} \right.$
Dễ nhận thấy $U$ là 1 dãy tuần hoàn.
Ta nhận thấy $U_1 = 1; U_2 = 3; U_3 = 9; U_4 = 11; U_5 = 1; ...$
Do đó $3^y \not\equiv 15 (mod \ 16) \Leftrightarrow 3^y+1 \not\equiv 0 (mod \ 16)$. Điều này vô lí!
Vậy PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất $x=y=1$
a)
Với $n \in \mathbb{Z}$, ta có: $n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n-2) \vdots 6$
$\Rightarrow A=a^3+b^3+c^3=(a^3-a)+(b^3-b)+a+b+c^3=(a^3-a)+(b^3-b)+(2c^3-2018c) \equiv 2c^3-2018c \equiv 2c^3-2c \equiv 2(c^3-c) \equiv 0 (mod\ 6) \Leftrightarrow A\vdots 6$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letangphuquy chuyentin: 10-03-2019 - 14:49
Bài 3:
a)
$x>0\Rightarrow C=\sqrt{1+x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}} + \frac{x}{x+1} = \sqrt{\frac{(1+x^2)(x+1)^2+x^2}{(x+1)^2}} + \frac{x}{x+1}$
$\Leftrightarrow C = \sqrt{\frac{(x^2+x+1-x)(x^2+x+1+x)+x^2}{(x+1)^2}} + \frac{x}{x+1} =\sqrt{\frac{(x^2+x+1)^2}{(x+1)^2}} + \frac{x}{x+1}$
$\Leftrightarrow C=\frac{x^2+x+1}{x+1} + \frac{x}{x+1} = \frac{(x+1)^2}{x+1} = x+1$
b)$D=ab+ac=a(b+c)=a(1-a)=a-a^2=-a^2+a-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}-(a-\frac{1}{2})^2 \leq \frac{1}{4}$
Vậy $D_{max}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow a=\frac{1}{2};b+c=\frac{1}{2}$
c)
Cách 1:
$a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên $a,b,c > 0$ và
$a+b>c \Leftrightarrow \frac{a+b}{c}-1>0$
Tương tự ta có: $\frac{b+c}{a}-1>0$; $\frac{c+a}{b}-1>0$
Áp dụng BĐT Cô-si: $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a} \ge 6\sqrt[6]{\frac{b}{a}.\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{b}.\frac{a}{c}.\frac{c}{a}} = 1$ (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letangphuquy chuyentin: 14-03-2019 - 14:26
Bài 4:
Sorry bạn, mình lỡ làm hơi sai, để khi nào thuận tiện mình sửa lại nhé!
Hình vẽ:
Link file GeoGebra:
https://www.geogebra...lassic/xuknyzkz
(bạn click chuột trái vào điểm B rồi chọn Animation để thấy được quỹ tích điểm G nhé!)
Bài làm:
a)
$\bigtriangleup ABC$ có $AD$ là phân giác $\widehat{BAC}$ nên $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$
$EP//AD\Rightarrow \frac{BE}{BA}=\frac{BP}{BD}$
$FQ//AD\Rightarrow \frac{CF}{CA}=\frac{CQ}{CD}$
Suy ra: $\frac{BP}{CQ} = \frac{BP}{BD}.\frac{BD}{CD}.\frac{CD}{CQ} = \frac{BE}{BA}.\frac{AB}{AC}.\frac{CA}{CF} =\frac{BE}{CF} = 1 \Leftrightarrow BP=CQ$
b)
Lấy trung điểm $M$ của $EF$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letangphuquy chuyentin: 11-03-2019 - 17:42
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh