Đến nội dung


Hình ảnh

$\binom{n}{0}f(x)+\binom{n}{1}f(x^{2})+...+\binom{n}{n}f(x^{2^{n}})=0$ , $\forall x\in \mathbb{R}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 nhatminhkh2602

nhatminhkh2602

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết

Đã gửi 11-03-2019 - 14:20

Cho n là một số tự nhiên. Tìm tất cả các hàm số liên tục f(x) thỏa mãn :

$\binom{n}{0}f(x)+\binom{n}{1}f(x^{2})+...+\binom{n}{n}f(x^{2^{n}})=0$ , $\forall x\in \mathbb{R}$



#2 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 05-05-2021 - 16:42

Ta chứng minh bổ đề: "Nếu $g(x)+g(x^2)=0$ $\forall x$ với vài hàm liên tục $g(x)$, thì $g\equiv 0$
Chứng minh:
$g(-x)=-g((-x)^2)=-g(x^2)=g(x)$ do đó $g(x)$ là hàm chẵn.
Cho $x>0$
Ta dễ dàng có được $g(x^{2^{-n}})=(-1)^n g(x)$
$\lim_{n\to+\infty}VT=g(1)$ do đó $g(x)=0\quad\forall x>0$ (vì nếu không thì $VP$ không có giới hạn)
Vì $f$ là hàm chẵn, $g(x)=0\quad\forall x\ne 0$
Vì $f$ liên tục, $g(0)=0$
Do đó $g\equiv 0$, đpcm.
Đặt $g_k(x)=\sum_{i=0}^k\binom kif(x^{2^i})$ (do đó bài toán có thể được viết lại là $g_n(x)=0\quad\forall x$)
Ta có$g_k(x)+g_k(x^2)=g_{k+1}(x)$
Vì $g_n(x)=0\quad\forall x$, bổ đề cho ta $g_{n-1}(x)=0\quad\forall x$
Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp ta có $g_0(x)=\boxed  {f(x)\equiv 0}$, thử lại thấy thỏa mãn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 05-05-2021 - 20:05





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh