Chủ đề này có 3 trả lời

[ThinhThinh123]

Nguồn: Facebook

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThinhThinh123: 16-03-2019 - 14:50

[thien1109]

KHÁNH HÒA.jpg

Nguồn: Facebook

Bài 2

$x^{3}-x^{2}y+5x=y^{3}-xy^{2}+5y(1)$

Phương trình tương đương $x^{3}-y^{3}-(x^{2}y-xy^{2})=5y-5x\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})-xy(x-y)=-5(x-y)$

Tương đương $(x-y)(x^{2}+xy+y^{2}-xy)=-5(x-y)\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+y^{2})+5(x-y)=0\rightarrow (x-y)(x^{2}+y^{2}+5)=0$

mà x^2 +y^2+5 > 0 với mọi x nên $(1)\Leftrightarrow x-y=0\Rightarrow x=y$

Hay $xy=2y-1\Leftrightarrow x^{2}=2x^{2}-1\Leftrightarrow x^{2}-1=0\Rightarrow x\in \left \{ 1 \right-1 \}$

[mathprovn]

Bài 3:

 $\begin{array}{l}
P\left( x \right) = {x^4} + a\left( {{x^3} - x} \right) + b\left( {{x^2} - x} \right) + \left( {a + b + c} \right)x + d\\
P\left( x \right) = {x^4} + 6a.\frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6} + 2b.\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} + \left( {a + b + c} \right)x + d\,\,\left( 1 \right)
\end{array}$

Vì x(x + 1)(x – 1) chia hết cho 6; x(x – 1) chia hết cho 2 với mọi x nguyên.

Do đó P(x) nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x. Ta có thể chọn một trong các giá trị của x sau:

* Chọn x = 0 thì (1) trở thành P(0) = d. Vì P(0) nguyên nên d nguyên.

Þ${P_1}\left( x \right) = 6a.\frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6} + 2b.\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} + \left( {a + b + c} \right)x\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$ là số nguyên.

* Chọn x = 1 thì (2) trở thành: P₁(1) = a + b + c, vì P(1) là 2 số nguyên nên a + b + c nguyên.

Þ ${P_2}\left( x \right) = 6a.\frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6} + 2b.\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2}\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$ là số nguyên.

* Chọn x =  -1 thì (3) trở thành: P₂(-1) =  2b là số nguyên.

Þ ${P_3}\left( x \right) = 6a.\frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6}\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$ là số nguyên.

* Chọn x = 2 thì (4) trở thành P₃(2) = 6a là số nguyên.

 

Ngược lại: giả sử 6a, 2b, a + b + c và d là các số nguyên thì (1) cũng là số nguyên với mọi x nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathprovn: 27-03-2019 - 14:24

[Tea Coffee]

Câu 1: (4 điểm) Rút gọn biểu thức

$Q=(\frac{\sqrt{x-2}}{3+\sqrt{x-2}}+\frac{x+7}{11-x}): \left [ (\frac{3\sqrt{x-2}+1}{x-3\sqrt{x-2}-2}-\frac{1}{\sqrt{x-2}}).(\frac{3\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2}+2}) \right ]$ với $x>2$ và $x$ khác $11$

Câu 2: (4 điểm)

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}xy=2y-1 \\ x^{3}-x^{2}y+5x=y^{3}-xy^{2}+5y \end{matrix}\right.$

Câu 3: (4 điểm)

Cho đa thức $P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của $x$. Chứng minh rằng $6a,2b,a+b+c,d$ là số nguyên.

Câu 4: (4 điểm)

Trên đoạn thẳng $DE$ lấy điểm $C$ ( $C$ không trùng $D,E$). Dựng cùng phía hai hình chữ nhật $ABCD,GCEF$ sao cho $\frac{DC}{BC}=\frac{GC}{GF}=k$ ($k$ lớn hơn $0$ và là hằng số).  

a) Chứng minh $DG$ vuông góc $BE$

b) Gỉa sử $DG$ vuông góc $BE$ tại $H$. Chứng minh rằng $HC$ luôn đi một điểm cố định khi $C$ di động trên $DE$

Câu 5: (4 điểm)

a) Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$

b) Một con ếch ngồi trên một ô vuông liền kề với ô vuông ở góc của bảng $5x5$ ( ô đánh dấu "x"). Nó nhảy sang từng ô vuông liền kề theo hàng hoặc theo cột mà không được nhảy chéo. Chứng minh rằng nếu con ếch nhảy vào mỗi ô vuông đúng một lần thì nó không thể nhảy hết tất cả các ô vuông của bảng $5x5$.