Chủ đề này có 1 trả lời

[nhatminhkh2602]

Cho tam giác $ABC$ với $M$ là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Đường thẳng vuông góc với $MA,MB,MC$ tại $M$ cắt $BC,CA,AB$ tại các điểm $A_0,B_0,C_0.$ Chứng minh $A_0,B_0,C_0$ thẳng hàng. (sử dụng phép nghịch đảo)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 22-03-2019 - 09:05

[SpiritCreator]

Cho tam giác $ABC$ với $M$ là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Đường thẳng vuông góc với $MA,MB,MC$ tại $M$ cắt $BC,CA,AB$ tại các điểm $A_0,B_0,C_0.$ Chứng minh $A_0,B_0,C_0$ thẳng hàng. (sử dụng phép nghịch đảo)

Xét phép nghịch đảo tâm $M$; phương tích $k$ bất kì.

Gọi ảnh của 1 điểm (giả sử là) $K$ qua $N^{k}_{M}$ là $K'$

Ta có: $A_0; B; C$ thẳng hàng $\Rightarrow A'_0; B'; C'; M$ cùng thuộc đường tròn $(O_1)$

Tương tự ta có $(O_2); (O_3)$.

Gọi $D$ là trực tâm $\Delta O_1O_2O_3$; ta có: $O_1D\bot O_2O_3; A'_0M// O_2O_3\Rightarrow O_1D\bot A'_0M\Rightarrow DM=DA'_0$

Tương tự $\Rightarrow M; A'_0; B'_0; C'_0$ cùng thuộc đường tròn $(D)$.

$\Rightarrow \overline{A_0; B_0; C_0}$ (dpcm)