Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh tứ giác MAPB nội tiếp

toán 9 hình học nâng cao

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Monkey Moon

Monkey Moon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $M$ và $N$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ cắt $(O')$ tại $B$, tiếp tuyến tại $M$ của $(O')$ cắt $(O)$ tại $A$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $N$. Chứng minh tứ giác $MAPB$ nội tiếp.



#2
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $M$ và $N$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ cắt $(O')$ tại $B$, tiếp tuyến tại $M$ của $(O')$ cắt $(O)$ tại $A$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $N$. Chứng minh tứ giác $MAPB$ nội tiếp.

 

cvg.jpg

Lời giải: Dễ dàng ta chứng minh được: $\angle{AMN}=\angle{MBN}$ và $\angle{NAM}=\angle{NMB}$ (do tính chất của tiếp tuyến với đường tròn).

Do đó ta suy ra được: $\triangle{AMN}\sim \triangle{MBN}(g.g)\implies \frac{AN}{NM}=\frac{NM}{NB}\implies MN^2=AN.NB(1)$ và $\angle{ANM}=\angle{MNB}(2)$

Lại có: $MN=NP(3)$. Nên từ $(1)(2)(3)$, ta có:

$\left\{\begin{array}{I} NP^2=AN.NB\iff \frac{AN}{NP}=\frac{NP}{NB}\\ \angle{ANM}=\angle{MNB}\implies \angle{ANP}=\angle{PNB}\end{array}\right.$

$\implies \triangle{ANP}\sim \triangle{PNB}(c.g.c)$.

$\implies \angle{BPN}=\angle{PAN}$.

Lúc này ta có: $\angle{APB}+\angle{AMB}=(\angle{APN}+\angle{BPN})+(\angle{AMN}+\angle{NMB})=(\angle{APN}+\angle{PAN})+(\angle{AMN}+\angle{NAM})=\angle{ANM}+\angle{AMN}+\angle{NAM}=180^0$.(do $\angle{ANM}=\angle{APN}+\angle{PAN}$).

Và từ đây ta suy ra được tứ giác $AMBP$ nội tiếp, ta có điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 19-03-2019 - 07:37






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: toán 9, hình học, nâng cao

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh