Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $M$ và $N$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ cắt $(O')$ tại $B$, tiếp tuyến tại $M$ của $(O')$ cắt $(O)$ tại $A$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $N$. Chứng minh tứ giác $MAPB$ nội tiếp.
Chứng minh tứ giác MAPB nội tiếp
#1
Đã gửi 18-03-2019 - 22:26
#2
Đã gửi 19-03-2019 - 07:34
Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $M$ và $N$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ cắt $(O')$ tại $B$, tiếp tuyến tại $M$ của $(O')$ cắt $(O)$ tại $A$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $N$. Chứng minh tứ giác $MAPB$ nội tiếp.
Lời giải: Dễ dàng ta chứng minh được: $\angle{AMN}=\angle{MBN}$ và $\angle{NAM}=\angle{NMB}$ (do tính chất của tiếp tuyến với đường tròn).
Do đó ta suy ra được: $\triangle{AMN}\sim \triangle{MBN}(g.g)\implies \frac{AN}{NM}=\frac{NM}{NB}\implies MN^2=AN.NB(1)$ và $\angle{ANM}=\angle{MNB}(2)$
Lại có: $MN=NP(3)$. Nên từ $(1)(2)(3)$, ta có:
$\left\{\begin{array}{I} NP^2=AN.NB\iff \frac{AN}{NP}=\frac{NP}{NB}\\ \angle{ANM}=\angle{MNB}\implies \angle{ANP}=\angle{PNB}\end{array}\right.$
$\implies \triangle{ANP}\sim \triangle{PNB}(c.g.c)$.
$\implies \angle{BPN}=\angle{PAN}$.
Lúc này ta có: $\angle{APB}+\angle{AMB}=(\angle{APN}+\angle{BPN})+(\angle{AMN}+\angle{NMB})=(\angle{APN}+\angle{PAN})+(\angle{AMN}+\angle{NAM})=\angle{ANM}+\angle{AMN}+\angle{NAM}=180^0$.(do $\angle{ANM}=\angle{APN}+\angle{PAN}$).
Và từ đây ta suy ra được tứ giác $AMBP$ nội tiếp, ta có điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 19-03-2019 - 07:37
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: toán 9, hình học, nâng cao
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh B,M,N,C đồng viênBắt đầu bởi VGNam, 22-02-2024 hình học |
|
|||
Solved
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh ba điểm E, F, H thẳng hàng.Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
a) Chứng minh rằng K thuộc đường tròn đường kính BC . b) Chứng minh rằng IMC KGJ 45oBắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
a. Chứng minh rằng P, Q, T thẳng hàng. b. Chứng minh các đường thẳng PQ, BC và AY đồng quy.Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học, hình học phẳng |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Hình học →
Hình học phẳng →
Chứng minh rằng AD là phân giác góc BACBắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh