Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi chuyên phần đại số

* * * * * 1 Bình chọn toán 9 nâng cao đại số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Monkey Moon

Monkey Moon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

Bài 1: Chứng minh rằng $n^{2}+8n+2017$ không chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n

Bài 2: Cho ba số a, b, c thỏa mãn:  $\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$ 

Tính giá trị biểu thức:  $P=\frac{a}{(b-c)^{2}}+\frac{b}{(c-a)^{2}}+\frac{c}{(a-b)^{2}}$

Bài 3: Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn $x\geq 1; x+y\leq 4$

Tìm GTNN của $P=x^{2}+3xy+4y^{2}$

Bài 4: Chứng minh rằng trong 55 số bất kì được chọn từ tập số ${1,2,...,100}$ luôn tồn tại hai số có hiệu bằng 9



#2
Lao Hac

Lao Hac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 279 Bài viết

Bài 1 : Xét đồng dư mod 9

Bài 2 : $(\frac{a}{b-c} +\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b})=0$ xong nhân tung toé ra và biến đổi :)

Bài 3: Quên cách làm rồi :) Nhưng hình như là thế này : $x\geq 1; x+y\leq 4$ => $y\leq 3$ . Lại có $P=(x+y)^{2}+y(3y+x)=(x+y)^{2}+y(y+x+2y)\leq 4^2+3(4+2.3)=46$ Vậy P max = 46 <=> x=1, y=3

Bài 4: Chia cặp các số từ A: 1->9; 19->27; 37-> 45; 55->65;73->81; 91-> 100 và B: các số còn lại

Nhận thấy tất cả các số ở A không có 2 số nào có hiệu là 9 . Đồng thời A chỉ có 54 số. Vậy theo định lý Dirichlet có một số thuộc tập B. Khi đó luôn có 2 số có hiệu là 9


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lao Hac: 29-04-2019 - 08:18

:P


#3
Tran Thanh Phuong

Tran Thanh Phuong

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết

Bài 1: Chứng minh rằng $n^{2}+8n+2017$ không chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n

Bài 2: Cho ba số a, b, c thỏa mãn:  $\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$ 

Tính giá trị biểu thức:  $P=\frac{a}{(b-c)^{2}}+\frac{b}{(c-a)^{2}}+\frac{c}{(a-b)^{2}}$

Bài 3: Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn $x\geq 1; x+y\leq 4$

Tìm GTNN của $P=x^{2}+3xy+4y^{2}$

Bài 4: Chứng minh rằng trong 55 số bất kì được chọn từ tập số ${1,2,...,100}$ luôn tồn tại hai số có hiệu bằng 9

Em xin có cách giải khác cho bài 1 ạ =) 

Bài 1:

Đặt $A=n^2+8n+2017$

+) Xét $n=0$ ta có :

$A=0^2+8.0+2017=2017$

Do đó $A$ không chia hết cho $9$ ( do $2017$ không chia hết cho $9$ )

+) Giả sử khi $n=k$ thì $A$ không chia hết cho 9

Hay $A=k^2+8k+2017$ không chia hết cho 9 $(*)$

+) Cần chứng minh đpcm đúng khi $n=k+1$

Khi đó : $A=(k+1)^2+8(k+1)+2017$

$A=k^2+2k+1+8k+8+2017$

$A=(k^2+8k+2017)+(2k+1+8)$

$A=(k^2+8k+2017)+(2k+9)$

Theo $(*)$ ta có $k^2+8k+2017$ không chia hết cho 9

Điều đó kéo theo việc $(k^2+8k+2017)+(2k+9)$ cũng không chia hết cho 9

Hay $A$ không chia hết cho 9 với $n=k+1$

Vậy ta có đpcm

P/s: đây là phương pháp qui nạp toán học nha bạn :)



#4
Lao Hac

Lao Hac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 279 Bài viết

Em xin có cách giải khác cho bài 1 ạ =) 

Bài 1:

Đặt $A=n^2+8n+2017$

+) Xét $n=0$ ta có :

$A=0^2+8.0+2017=2017$

Do đó $A$ không chia hết cho $9$ ( do $2017$ không chia hết cho $9$ )

+) Giả sử khi $n=k$ thì $A$ không chia hết cho 9

Hay $A=k^2+8k+2017$ không chia hết cho 9 $(*)$

+) Cần chứng minh đpcm đúng khi $n=k+1$

Khi đó : $A=(k+1)^2+8(k+1)+2017$

$A=k^2+2k+1+8k+8+2017$

$A=(k^2+8k+2017)+(2k+1+8)$

$A=(k^2+8k+2017)+(2k+9)$

Theo $(*)$ ta có $k^2+8k+2017$ không chia hết cho 9

Điều đó kéo theo việc $(k^2+8k+2017)+(2k+9)$ cũng không chia hết cho 9

Hay $A$ không chia hết cho 9 với $n=k+1$

Vậy ta có đpcm

P/s: đây là phương pháp qui nạp toán học nha bạn :)

Ý tưởng khá hay, nhưng không hiểu ý bạn ở đoạn này : theo $(*)$ ta có $k^2+8k+2017$ không chia hết cho 9 ( chỗ này hoàn toàn đúng )

Điều đó kéo theo việc $(k^2+8k+2017)+(2k+9)$ cũng không chia hết cho 9 ( ??????? )

Tại sao lại kéo theo $(k^2+8k+2017)+(2k+9)$ cũng không chia hết cho 9 vậy :) ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lao Hac: 29-04-2019 - 10:10

:P


#5
Tran Thanh Phuong

Tran Thanh Phuong

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết

Ý tưởng khá hay, nhưng không hiểu ý bạn ở đoạn này : theo $(*)$ ta có $k^2+8k+2017$ không chia hết cho 9 ( chỗ này hoàn toàn đúng )

Điều đó kéo theo việc $(k^2+8k+2017)+(2k+9)$ cũng không chia hết cho 9 ( ??????? )

Tại sao lại kéo theo $(k^2+8k+2017)+(2k+9)$ cũng không chia hết cho 9 vậy :) ?

Hichic :) em cũng thấy phần này hơi mông lung :v a có thể giải thích được không ạ ?



#6
Lao Hac

Lao Hac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 279 Bài viết

Hichic :) em cũng thấy phần này hơi mông lung :v a có thể giải thích được không ạ ?

Nó không hợp lý ở chỗ : tuy 

 

(k2+8k+2017) không chia hết cho 9 nhưng ta chưa biết tính chia hết của 2k+9 cho 9 nên không thể khẳng định (k2+8k+2017)+(2k+9) không chia hết cho 9

Cách của mình cũng đơn giản thôi : n2+8n+2017 = (n+4)2+2001
(n+4)2 là số chính phương nên chia 9 có thể dư 0,1,4,7 còn 2001 chia 9 dư 3 nên (n+4)2+2001 chia 9 có thể dư 3,4,7,1 hay không chia hết cho 9 ( đpcm )
 


:P


#7
Tran Thanh Phuong

Tran Thanh Phuong

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết

 

Nó không hợp lý ở chỗ : tuy 

 

(k2+8k+2017) không chia hết cho 9 nhưng ta chưa biết tính chia hết của 2k+9 cho 9 nên không thể khẳng định (k2+8k+2017)+(2k+9) không chia hết cho 9

Cách của mình cũng đơn giản thôi : n2+8n+2017 = (n+4)2+2001
(n+4)2 là số chính phương nên chia 9 có thể dư 0,1,4,7 còn 2001 chia 9 dư 3 nên (n+4)2+2001 chia 9 có thể dư 3,4,7,1 hay không chia hết cho 9 ( đpcm )

 

Cách này hay quá :) có lẽ phương pháp qui nạp cần đc xem xét lại trong bài toán này rồi :(







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: toán 9, nâng cao, đại số

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh