Cho dãy số $(U_{n})$ xác định bởi $u_{1}=\frac{2019}{2018},u_{n+1}=u_{n}+2018.u_{n}^{2}$.với mọi n thuộc N*.
Tìm $\lim (\frac{u_{1}}{u_{2}}+\frac{u_{2}}{u_{3}}+\frac{u_{3}}{u_{4}}+...+\frac{u_{n}}{u_{n+1}})$
Từ qui nạp dễ dàng ta CM được $u_n > 0$
Xét $u_{n+1} - u_n = 2018u_n^2 > 0$(do $u_n > 0$)
$\to u_n$ tăng ngặt
Giả sử $u_n$ bị chặn trên. Theo định lí weiertrass thì $u_n$ có giới hạn
Đặt $lim u_n = a (a > \dfrac{2019}{2018})$
Thay vào giải phương trình giới hạn ta được $a = 0$(vô lí)
$\to lim u_n = +\infty$
Từ hệ thức truy hồi ta có : $2018u_n^2= u_{n+1} - u_n \to u_n^2 = \dfrac{1}{2018}(u_{n+1} - u_n)$
Ta có $\dfrac{u_n}{u_{n+1}} = \dfrac{u_n^2}{u_n.u_{n+1}} = \dfrac{u_{n+1}-u_n}{2018.u_n.u_{n+1}} = \dfrac{1}{2018}(\dfrac{1}{u_n} - \dfrac{1}{u_{n+1}})$
Bạn tự giải ...
KQ $\displaystyle\lim = \dfrac{1}{2019}$
$#Ruka$