Cho ba số thực dương thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng $\frac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq \frac{9}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 18-04-2019 - 10:03
Cho ba số thực dương thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng $\frac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq \frac{9}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 18-04-2019 - 10:03
Cho ba số thực dương thỏa mãn x+y+z=xyz. Chứng minh rằng $\frac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq \frac{9}{4}$
Từ giả thiết : $x+y+z=xyz\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$ Đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b ;\frac{1}{z}=c \Rightarrow ab+bc+ca=1$
Ta có : $\frac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}= {{\sqrt{\frac{4}{1+x^{2}}}}}+\sqrt{\frac{1}{1+y^{2}}}+\sqrt{\frac{1}{1+z^{2}}}={{\sqrt{\frac{4a^{2}}{1+a^{2}}}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{1+b^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{1+c^{2}}}={{\sqrt{\frac{2a.2a}{(a+b)(a+c)}}}}+\sqrt{\frac{2b.b}{(b+a)[2(b+c)]}}+\sqrt{\frac{2c.c}{(a+c)[2(c+b)])}}$
Từ đó bạn dùng AM-GM , mình đã tách ra đó rồi, có từng cặp với nhau ...... ===> đpcm
[Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.] (FERMAT)
Từ giả thiết : $x+y+z=xyz\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$ Đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b ;\frac{1}{z}=c \Rightarrow ab+bc+ca=1$
Ta có : $\frac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}= {{\sqrt{\frac{4}{1+x^{2}}}}}+\sqrt{\frac{1}{1+y^{2}}}+\sqrt{\frac{1}{1+z^{2}}}={{\sqrt{\frac{4a^{2}}{1+a^{2}}}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{1+b^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{1+c^{2}}}={{\sqrt{\frac{2a.2a}{(a+b)(a+c)}}}}+\sqrt{\frac{2b.b}{(b+a)[2(b+c)]}}+\sqrt{\frac{2c.c}{(a+c)[2(c+b)])}}$
Từ đó bạn dùng AM-GM , mình đã tách ra đó rồi, có từng cặp với nhau ...... ===> đpcm
Cảm ơn bạn nhiều
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh