Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN, GTLN

toán 9 đại số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Monkey Moon

Monkey Moon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

Bài 1: Cho $a,b,c\geq 1$ và $ab+bc+ca=9$

             Tính GTNN và GTLN của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Bài 2: Cho $a, b$ thỏa mãn $(2a-1)^{2}+(2b-1)^{2}=2$

Tìm GTNN của $P=a^{4}+b^{4}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}$

Bài 3: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$

Tính GTNN của $P=\frac{ab}{c^{2}(a+b)}+\frac{ac}{b^{2}(a+c)}+\frac{bc}{a^{2}(b+c)}$



#2
phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Bài 1

Ta có $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca=9$

Dấu bằng xãy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$

Ta lại có $a,b,c\geq 1\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow ab+1\geq a+b$

CMTT $\Rightarrow bc+1\geq b+c;ca+1\geq c+a$

$\Rightarrow ab+bc+ca+3\geq 2(a+b+c)\Rightarrow a+b+c\leq 6 \Rightarrow (a+b+c)^{2}\leq 36\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)\leq 36\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 18$

Dấu bằng xảy ra khi (a,b,c)=(1,1,4)



#3
phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Bài 2

Ta có

$2=(2a-1)^{2}+(2b-1)^{2}\geq \frac{(2a-1+2b-1)^{2}}{2}=2(a+b-1)^{2} \Rightarrow (a+b-1)^{2}\leq 1 \Rightarrow a+b\leq 2$

$P=a^{4}+b^{4}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}=\frac{(a+b)^{4}}{8}+\frac{8}{(a+b)^{2}}+\frac{8}{(a+b)^{2}}+\frac{2001}{(a+b)^{2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)^{4}}{8}.\frac{8}{(a+b)^{2}}.\frac{8}{(a+b)^{2}}}+\frac{2001}{4}=6+\frac{2001}{4}=\frac{2025}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1



#4
phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Bài 3

Ta có : Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3$

$P=\frac{ab}{c^{2}(a+b)}+\frac{ac}{b^{2}(a+c)}+\frac{bc}{a^{2}(b+c)}=\sum \frac{\frac{1}{c^{2}}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}{2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{2}\geq \frac{3}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1



#5
Monkey Moon

Monkey Moon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

Bài 2

Ta có

$2=(2a-1)^{2}+(2b-1)^{2}\geq \frac{(2a-1+2b-1)^{2}}{2}=2(a+b-1)^{2} \Rightarrow (a+b-1)^{2}\leq 1 \Rightarrow a+b\leq 2$

$P=a^{4}+b^{4}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}=\frac{(a+b)^{4}}{8}+\frac{8}{(a+b)^{2}}+\frac{8}{(a+b)^{2}}+\frac{2001}{(a+b)^{2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)^{4}}{8}.\frac{8}{(a+b)^{2}}.\frac{8}{(a+b)^{2}}}+\frac{2001}{4}=6+\frac{2001}{4}=\frac{2025}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

bạn ơi tại sao  $\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}$



#6
phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

bạn ơi tại sao  $\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}$

Do $2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}$. Cái này biến đổi tương đương hoặc áp dụng BĐT Bunhiacopxki là ra

Sau đó thay vào là được  $\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 11-04-2019 - 23:01


#7
Giabao3101

Giabao3101

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Bài 4: Cho hai số dương x, y tìm giá tri nhỏ nhất của A = (x+y)/2x







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: toán 9, đại số

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh