Q: Đơn vị ảo i giúp ta "tạo" ra một thế giới mà ở đó khi bình phương một số ta có thể nhận được kết quả âm. Nếu vậy tại sao các nhà toán học không "tạo" ra một đơn vị giúp ta chia cho 0?
A: Nick Picard, Cử nhân Ngôn Ngữ, Đại học Vitoria.
Đây là một câu hỏi tuyệt vời. Khi đặt câu hỏi này bạn đã thể hiện rằng:
1. Bạn nhận ra toán học tồn tại để phục vụ con người, và ta nên sử dụng toán theo cách phù hợp với ta nhất.
2. Bạn không ngại phải phá luật, nhưng bạn biết phá luật sẽ dẫn tới hậu quả, và bạn muốn biết hậu quả đó là gì.
Vậy tôi sẽ chỉ cho bạn hậu quả của việc phá luật.
_____________
Đầu tiên, hãy quên hết những gì bạn biết về các con số và cách mà chúng kết hợp với nhau đi. Ta sẽ quay về cấp tiểu học một chút.
Hãy bắt đầu với việc đếm số. Hữu ích lắm đấy.
1, 2, 3, 4, 5…
Tiếp theo, ta sẽ phát minh ra phép cộng. Cũng bình thường thôi.
1+2 = 3
4+4 = 8
Nếu ta có một con số không làm tăng thêm bất cứ gì thì có vẻ hay ho nhỉ. Một con số nhỏ hơn một. Tôi không muốn tạo cho bạn thành kiến gì cả, vậy nên cứ gọi số đó là ∆ đi. Ừ, tam giác. Hình tam giác đẹp mà. (Thật ra là đó là số 0, nhưng vì ta đang xây dựng lại tất cả nên tôi sẽ dùng kí hiệu.)
3+∆ = 3
5+∆ = 5
Vì ∆ không làm tăng thêm bất cứ gì nên:
∆+∆ = ∆
Được lắm. Giờ đến phép nhân.
3×3 = 9
Nhưng sẽ thú vị hơn nếu ta có một con số sao cho khi nhân số đó với bất kì số nào khác thì sẽ không có gì thay đổi cả. Và sẽ thật hợp lý nếu con số đó là 1.
3×3 = 9
3×2 = 6
3×1 = 3
Và ta sẽ hoàn thành chuỗi phép tính này:
3×∆ = ∆
Bạn có nhận thấy số ∆ và 1 có gì tương tự nhau chứ? Số ∆ không làm thay đổi gì trong phép cộng, còn số 1 không làm thay đổi gì trong phép nhân.
Vậy là mọi chuyện đều ổn thỏa cả, nhưng ta vẫn chưa thể làm được gì nhiều. Những thứ trên mới là căn bản thôi!
____________
Sẽ thế nào nếu mỗi con số đều cặp với một con số chị em khác, sao cho khi cộng hai số này với nhau ta sẽ được ∆? Tôi sẽ dùng chữ số in đậm, chẳng hạn 𝐧𝐡𝐮̛ 𝐭𝐡𝐞̂́ 𝐧𝐚̀𝐲 (thật ra ngoài đời ta gọi những số này là số âm).
3+𝟑 = ∆
1+𝟏 = ∆
Các nhà toán học gọi đây là "số đối".
Vậy sẽ thế nào nếu mỗi con số đều cặp với một con số anh em khác, sao cho khi nhân hai số này với nhau ta sẽ được 1? Tôi sẽ dùng chữ số in ngược, chẳng hạn ưɥu ếɥʇ ʎɐ̖u (người ta gọi đây là "phép chia").
3×Ɛ = 1
7×ㄥ = 1
Các nhà toán học gọi đây là "số nghịch đảo".
Vậy xong rồi! Ta đã có mọi số (âm và dương), ta có cả phép cộng, trừ, nhân, chia. Vậy ta còn muốn thêm gì khác nữa?
Tôi biết rồi. Ta muốn mọi phương trình đều phải có nghiệm. Nhưng ta đã bỏ quên mất một số thứ.
Ví dụ, phép tính sau sẽ có kết quả gì?
∆×∇=?
Giờ ta có một nghịch lý. Ta đã biết ∆ nhân với mọi số sẽ có kết quả là ∆. Ta cũng biết bất kỳ số nào nhân với phiên bản in ngược của nó sẽ bằng 1. Vậy kết quả phép tính này là ∆ hay 1?
_______________
Trong viễn cảnh trên, ta đã đặt ra những quy luật trông có vẻ đơn giản, nhưng ta lại không thể nắm chắc được chúng. Cách duy nhất để cứu vãn tình huống này là tạo ra luật mới.
Bạn đúng đấy. Ta có thể chọn luật mới đó theo ý ta. Vì ta có quyền. Vậy đây là một số luật có thể sẽ giúp được ta:
- Ta sẽ không bao giờ có thể thực hiện phép chia nữa. Vậy phép chia đã bị cấm.
- Ta loại bỏ con số 0. (Không còn tính chất "đồng nhất cộng" nữa.) (nd: số 0 có tính đồng nhất cộng - additive identity - do bất kì số nào cộng với 0 vẫn bằng chính nó.)
- Mọi số từ bây giờ đều bằng nhau.
- Sẽ không có số nghịch đảo cho số 0. (Ta không thể chia cho 0 được.)
Có lẽ sẽ còn những cách khác để giúp toán học không còn nghịch lý nữa. Nhưng tôi muốn chỉ ra rằng mọi sự hy sinh đều là đau đớn tột cùng. Ta sẽ không thể làm được những điều đơn giản như đếm và cộng nữa! Bạn có muốn mất đi số 0 chứ? Hay mất luôn khả năng đếm?
Cách đơn giản nhất để giải quyết những nghịch này là cấm phép chia cho số 0. Tôi biết mà, giải pháp này thật xấu xí, và chẳng vui vẻ gì, nhưng nó là lựa chọn tốt nhất mà ta có. Nhưng nếu bạn muốn nghịch ngợm trong một thế giới mà mọi số đều bằng nhau thì đừng để lời nói của tôi ngăn cản bạn nhé.
Người dịch: Tâm Minh.
Bài dịch được đăng trên trang Quora Việt Nam.
Nguồn bài viết gốc trên trang Quora.
