Đến nội dung

Hình ảnh

tìm m để phương tình có 4 nghiệm phân biệt

- - - - - đại số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
nganmai

nganmai

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

tìm m để phương tình sau có 4 nghiệm phân biệt:
2(x2 +3mx +2m2 )=x4 +x3



#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$$x^{\,4}+ x^{\,3}- 2(\,x^{\,2}+ 3\,mx+ 2\,m^{\,2})= 0$$

Để phương trình trên có nghiệm thì không thể xảy ra bất phương trình$:$ $$x^{\,4}+ x^{\,3}- 2(\,x^{\,2}+ 3\,mx+ 2\,m^{\,2})\geqq 0$$

Do đó$:$

$$\text{Discriminant}\left [ x^{\,4}+ x^{\,3}- 2(\,x^{\,2}+ 3\,mx+ 2\,m^{\,2}),\,x \right ]> 0$$

ở đây$:$ $\text{Discriminant}\left [ f(\,x\,),\,x \right ]$ là biệt thức theo $x$ của đa thức $f(\,x\,)$$.$

$$\Leftrightarrow (\,3- 8\,m\,)^{\,2}m^{\,2}(\,2\,m- 1\,)(\,8\,m+ 1\,)< 0\Leftrightarrow (\,3- 8\,m\,)^{\,2}(\,2\,m- 1\,)< 0$$

Vì thế nên xảy ra $3$ trường hợp$:$

$$\begin{equation}\begin{split} -\,\frac{1}{8} &< m &< 0 \\ 0 &< m &< \frac{3}{8} \\ \frac{3}{8} &< m &< \frac{1}{2}\end{split}\end{equation}$$

Và $3$ trường hợp này đều là đáp số cần tìm vì hệ số của $x^{\,0}$$:$ $\text{Coefficient}\left [ f(\,x\,),\,x^{\,0} \right ]= -4\,m^{\,2}$ nên phải có ít nhất một trường hợp cho$:$ $m< 0$$.$ Giờ thì ta để ý tiếp$:$ $\text{Coefficient}\left [ f(\,x\,),\,x^{\,2} \right ]= -6\,m$$.$ Do đó khi rút nhân tử$:$ $(\,x^{\,2}+ ax+ b\,)(\,x^{\,2}+ cx+ d\,)= 0$$.$ Ở đây$,$ không mất tính tổng quát$:$ $b< 0$$.$ Thì giả sử khi đó$:$ $x^{\,2}+ cx+ d> 0\Leftrightarrow c^{\,2}< 4\,d$ với $c= km(\,k= constant\,)$$.$ Chắc chắn là dù $c> 0$ hay $c< 0$ thì phải có một nghiệm cùng dấu hoặc khác dấu với $c$$($vì ta chưa xác định dấu của $k$$)$$.$ Phương trình có $3$ nghiệm nên cũng có $4$ nghiệm thỏa các $m$ trên$.$$($@nganmai nếu giải được bằng hàm cũng có thể trực tiếp post lên  ;)$)$$.$

 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đại số

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh