Chủ đề này có 1 trả lời

[toanND]

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính BD. E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng trung điểm đoạn thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC nằm trên BD. (sử dụng định lí con bướm)

[halloffame]

Mình trình bày hai cách chứng minh không dùng định lí con bướm.

 

 

Cách 1.

Ta có $\widehat{O_1EB}= \frac{180^0- \widehat{EO_1B}}{2}=90^0- \widehat{EAB}=90^0- \widehat{CDE} \Rightarrow EO_1 \perp CD.$

Mà $CD$ là dây chung của $(O),(O_2) \Rightarrow OO_2 \perp CD \Rightarrow EO_1 \parallel OO_2.$

Tương tự $EO_2 \parallel OO_1 \Rightarrow EO_1OO_2$ là hình bình hành. Do đó trung điểm $O_1O_2$ nằm trên $OE.$ Ta có đpcm.

 

 

Cách 2.

Xét phép nghịch đảo tâm $E$ phương tích bất kì, ta đưa bài toán trên về bài toán mới sau.

Bài toán mới. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$ đường kính $BD,E$ là giao điểm hai đường chéo. Gọi $O_1,O_2$ là điểm đối xứng với $E$ qua $AB,CD.$

Chứng minh rằng nếu $(EO_1O_2)$ cắt lại $BD$ tại $I \neq E$ thì $EO_1IO_2$ là tứ giác điều hoà.

Chứng minh. Gọi $E_1,E_2,I'$ là trung điểm $EO_1,EO_2,EI$ thì $E_1 \in AB, E_2 \in CD,I \in (EE_1E_2).$

Gọi $AB$ cắt $CD$ tại $G$ thì $\widehat{GE_1E}= \widehat{GE_2E}=90^0 \Rightarrow G \in (EE_1E_2) \Rightarrow \widehat{GI'E}= \widehat{GE_1E}=90^0.$ 

Theo hệ quả của định lí Brocard, $-1=(GI',GE,GD,GA)=G(I'EE_2E_1)=(I'EE_2E_1) \Rightarrow I'E_2EE_1$ là tứ giác điều hoà.

Qua phép vị tự tâm $E$ tỉ số $2$ thì $IO_2EO_1$ là tứ giác điều hoà. Ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 11-05-2019 - 11:08