Viết dạng S*O*S $($với $a,\,b,\,c\geqq 0$$)$ của$:$
$$F= a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2}+ 2\,abc+ 1- 2(\,ab+ bc+ ca\,)= F_{\,i}$$
Viết dạng S*O*S $($với $a,\,b,\,c\geqq 0$$)$ của$:$
$$F= a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2}+ 2\,abc+ 1- 2(\,ab+ bc+ ca\,)= F_{\,i}$$
$$\begin{equation}\begin{split} {\it F1} &=& {\it F3}+ c(\,2- c\,)(\,bc- b\,)^{\,2} \\ {\it F2} &=& (\,a+ b- c\,)^{\,2}+ 1- 2\,ab(\,2- c\,) \\ {\it F1} &\equiv& {\it F3}\geqq 0 \end{split}\end{equation}$$
S ử d ụ n g
$$A\,X^{\,2}+ B\,X+ C= \frac{(\,2\,AX+ B\,)^{\,2}}{4\,A}- \frac{B^{\,2}- 4\,AC}{4\,A}$$
$<$$=$$>$
$${\it F3}= (\,a- b- c+ bc\,)^{\,2}+ (\,bc^{\,2}- 2\,bc+ 1\,)^{\,2}$$
$<$$=$$>$
$$F= \frac{2\,\left \{ (\,a- b- c+ bc\,)^{\,2}+ (\,bc^{\,2}- 2\,bc+ 1\,)^{\,2} \right \}ab+ \left \{ (\,a+ b- c\,)^{\,2}+ 1 \right \}c(\,bc- b\,)^{\,2}}{c(\,bc- b\,)^{\,2}+ 2\,ab}$$
Giả sử c = min{a,b,c}
Đặt $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)$ và $t=\sqrt{ab}\geqq c$
Có: $f(a,b,c)-f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(a+b+2\sqrt{ab}-2c)\geqq 0$
$\Rightarrow f(a,b,c)\geqq f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c) =f(t,t,c)$
Ta cần chứng minh f(t,t,c) không âm
Thật vậy: $f(t,t,c)=c^2+2t^2c-4tc+1=(c-1)^2+2c(t-1)^2\geqq 0$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 29-03-2021 - 10:59
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh