$\forall\,a,\,b,\,c\in \mathbb{R}_{\,+},\,a+ b+ c= 3$
$=$$>$
$$(\,1+ a^{\,-\,1}\,)^{\,4}+ (\,1+ b^{\,-\,1}\,)^{\,4}+ (\,1+ c^{\,-\,1}\,)^{\,4}- 3\left ( 1+ 2(\,abc+ 1\,)^{-\,1} \right )^{\,4}\geqq 0$$
$\forall\,a,\,b,\,c\in \mathbb{R}_{\,+},\,a+ b+ c= 3$
$=$$>$
$$(\,1+ a^{\,-\,1}\,)^{\,4}+ (\,1+ b^{\,-\,1}\,)^{\,4}+ (\,1+ c^{\,-\,1}\,)^{\,4}- 3\left ( 1+ 2(\,abc+ 1\,)^{-\,1} \right )^{\,4}\geqq 0$$
Ta có: BĐT cần chứng minh $<=> (1+\frac{1}{a})^{4} +(1+\frac{1}{b})^{4}+(1+\frac{1}{c})^{4}\geq 3(1+\frac{2}{abc+1})^{4}$
Áp dụng BĐT B.C.S ta có: $((1+\frac{1}{a})^{4} +(1+\frac{1}{b})^{4}+(1+\frac{1}{c})^{4})(1+1+1)\geq ((1+\frac{1}{a})^{2} +(1+\frac{1}{b})^{2}+(1+\frac{1}{c})^{2})^{2}<=>(1+\frac{1}{a})^{4} +(1+\frac{1}{b})^{4}+(1+\frac{1}{c})^{4}\geq \frac{1}{3}((1+\frac{1}{a})^{2} +(1+\frac{1}{b})^{2}+(1+\frac{1}{c})^{2})^{2}$
Vì thế BĐT cần chứng minh $\frac{1}{3}((1+\frac{1}{a})^{2} +(1+\frac{1}{b})^{2}+(1+\frac{1}{c})^{2})^{2} \geq 3(1+\frac{2}{abc+1})^{4} <=> (1+\frac{1}{a})^{2} +(1+\frac{1}{b})^{2}+(1+\frac{1}{c})^{2}\geq 3(1+\frac{2}{abc+1})^{2}$
Tiếp tục áp dụng BĐT B.C.S như trên ta thu được: $3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3+\frac{6}{abc+1}<=>\frac{ab+bc+ca}{abc}\geq \frac{6}{abc+1}<=>(ab+bc+ca)(abc+1)\geq 6abc<=>\left ( ab+bc+ca \right )^{2}(abc+1)^{2}\geq 36a^{2}b^{2}c^{2}$
Mặt khác: $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)= 9abc$ và $(abc+1)^2\geq 4abc$
Nhân vế theo vế 2 bất đẳng thức trên ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra $<=> a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WaduPunch: 03-05-2019 - 22:30
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$$2(\,a+b+c\,)^{4}-9(\,ab+bc+ca+2\,a+2\,b+2\,c-3\,)(\,ab+bc+ca\,)\geqq0$$Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 23-04-2019 3 vars |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$$\it{a}^{\,\it{3}}+ \it{b}^{\,\it{3}}+ \it{c}^{\,\it{3}}\geqq \it{n}$$Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 26-12-2018 3 vars, inequality |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\it{9}+$ $$\geqq \frac{\it{9}}{\left ( \it{x}+ \it{y}+ \it{z} \right )\it{xyz}}$$Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 23-12-2018 inequality, không thuần nhất và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
$$\left\{\begin{matrix}3zx+6xy^{2}+6xyz&=&1\\3xy^{2}+4\,xyz&=&3\\7xyz+6zx&=&8\end{matrix}\right.$$Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 07-12-2018 hệ phương trình, 3 vars |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh