Đến nội dung

Hình ảnh

$$(1+a^{-1})^4+(1+b^{-1})^4+(1+c^{-1})^4-3\left(1+2(abc+1)^{-1}\right)^4\geqq0$$

* * * * * 1 Bình chọn 3 vars

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$\forall\,a,\,b,\,c\in \mathbb{R}_{\,+},\,a+ b+ c= 3$

$=$$>$

$$(\,1+ a^{\,-\,1}\,)^{\,4}+ (\,1+ b^{\,-\,1}\,)^{\,4}+ (\,1+ c^{\,-\,1}\,)^{\,4}- 3\left ( 1+ 2(\,abc+ 1\,)^{-\,1} \right )^{\,4}\geqq 0$$

 



#2
WaduPunch

WaduPunch

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 40 Bài viết

Ta có: BĐT cần chứng minh $<=> (1+\frac{1}{a})^{4} +(1+\frac{1}{b})^{4}+(1+\frac{1}{c})^{4}\geq 3(1+\frac{2}{abc+1})^{4}$

Áp dụng BĐT B.C.S ta có: $((1+\frac{1}{a})^{4} +(1+\frac{1}{b})^{4}+(1+\frac{1}{c})^{4})(1+1+1)\geq ((1+\frac{1}{a})^{2} +(1+\frac{1}{b})^{2}+(1+\frac{1}{c})^{2})^{2}<=>(1+\frac{1}{a})^{4} +(1+\frac{1}{b})^{4}+(1+\frac{1}{c})^{4}\geq \frac{1}{3}((1+\frac{1}{a})^{2} +(1+\frac{1}{b})^{2}+(1+\frac{1}{c})^{2})^{2}$ 

Vì thế BĐT cần chứng minh $\frac{1}{3}((1+\frac{1}{a})^{2} +(1+\frac{1}{b})^{2}+(1+\frac{1}{c})^{2})^{2} \geq 3(1+\frac{2}{abc+1})^{4} <=> (1+\frac{1}{a})^{2} +(1+\frac{1}{b})^{2}+(1+\frac{1}{c})^{2}\geq 3(1+\frac{2}{abc+1})^{2}$

Tiếp tục áp dụng BĐT B.C.S như trên ta thu được: $3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3+\frac{6}{abc+1}<=>\frac{ab+bc+ca}{abc}\geq \frac{6}{abc+1}<=>(ab+bc+ca)(abc+1)\geq 6abc<=>\left ( ab+bc+ca \right )^{2}(abc+1)^{2}\geq 36a^{2}b^{2}c^{2}$

Mặt khác: $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)= 9abc$ và $(abc+1)^2\geq 4abc$ 

Nhân vế theo vế 2 bất đẳng thức trên ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra $<=> a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WaduPunch: 03-05-2019 - 22:30






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 3 vars

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh