Đến nội dung

Hình ảnh

1/ $\sqrt[4]{a^{3}}+\sqrt[4]{b^{3}}+\sqrt[4]{c^{3}}>2\sqrt{2}$

toán 9 đại số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 25 trả lời

#1
Monkey Moon

Monkey Moon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=4$. CMR:

$\sqrt[4]{a^{3}}+\sqrt[4]{b^{3}}+\sqrt[4]{c^{3}}>2\sqrt{2}$

Bài 2: Tìm GTNN và GTLN của $A=\sqrt{x}+\sqrt{y}$

Biết x, y là các số thực thỏa mãn: $x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=x^{2}+y^{2}$

Bài 3: Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=1$

CMR: $\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}\geq 2$

Bài 4: Cho hai số x, y thỏa mãn: $x^{4}+y^{4}-3=xy(1-2xy)$

Tìm GTNN và GTLN của $A=xy$

Bài 5: Cho $x>0,y>0,x+y=1$. Tìm GTNN của $P=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}$

Bài 6: Cho a, b dương

CMR: $(a+b)^{2}+\frac{a+b}{2}\geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}$

Bài 7: Cho x, y thỏa mãn: $\sqrt{x+2}-y^{3}=\sqrt{y+2}-x^{3}$

Tìm GTNN của biểu thức: $A=x^{2}+2xy-2y^{2}+2y+2106$

Bài 8: Cho biểu thức $A=(4x^{5}+4x^{4}-5x^{3}+5x-2)^{2}+2015$

Tính A khi $x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}$

Bài 9: Giải phương trình

$\frac{4}{x}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}=x+\sqrt{2x-\frac{5}{x}}$

Bài 10: Giải phương trình

$7x^{2}+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}$

Bài 11: Cho x, y dương. Tìm GTNN của:

$A=\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{(x+y)^{2}}{xy}$



#2
Love is color primrose

Love is color primrose

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Bài 11:

$A=\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{(x+y)^{2}}{2xy}+\frac{(x+y)^{2}}{2xy}\geq (x+y)^{2}\frac{4}{x^{2}+y^{2}+2xy}+\frac{4xy}{2xy}=4+2=6$

Dấu bằng xảy ra khi x=y


ayanamy -sama :wub:  :wub:  :wub: 


#3
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Bài 9: Đặt $ \frac{1}{x} = a , x = b $ 

Pt $\Leftrightarrow 4a + \sqrt{b-a} = b + \sqrt {2b-5a} $ 

$ \Leftrightarrow  4a-b + \sqrt{b-a} - \sqrt{2b-5a} =0$

$ \Leftrightarrow  4a-b + \frac{4b-a}{\sqrt{b-a}+ \sqrt{2b-5a}} =0 $ 

Vì $ \frac{1}{\sqrt{b-a} +\sqrt{2b-5a}} +1 > 0 $ nên $  4a-b  =0 $ 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 04-05-2019 - 09:22


#4
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Bài 6. Áp dụng AM-GM và Bunhia ta có: 

$ VT  \geq 2. \sqrt{(a+b)^2.\frac{a+b}{2}} \geq 2. \sqrt{4ab.\frac{a+b}{2}} = 2.\sqrt{(ab+ab).(a+b)} \geq 2. (a.\sqrt{b} + b.\sqrt{a} ) = VP $ 

Dấu "=" khi   $  a=b = \frac{1}{4} $ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 03-05-2019 - 14:56


#5
EstarossaHT

EstarossaHT

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

câu 1 , ta nhân căn bậc 4 của 4 vào 2 vế

ở VT có a^3 ( a+b+c ) > a^4 =>  căn bậc 4 của 4  * VT > 4 => dfcm



#6
EstarossaHT

EstarossaHT

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

câu 5 là cosi đơn giản tí rồi đưa về tam thức bậc 2



#7
EstarossaHT

EstarossaHT

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

câu 10 là một câu pt có phương pháp giải

7x^2+7x= căn 4x+9 / 28 

<=> (x+1/2)^2= ( 1/7 )*(căn 4x+9/28) + 1/4

Đặt căn 4x+9/28 = y+1/2. Ta có hệ đối xứng



#8
EstarossaHT

EstarossaHT

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

câu 3 nhân cả tử cả mẫu với x => Cauchy



#9
EstarossaHT

EstarossaHT

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

C4. $ x^2+y^2 \geq 2|xy| => xy+3= (x^2+y^2)^2 >= 4x^2y^2$

$\rightarrow 4xy+3)(xy-1) \leftarrow 0$

$=> -\frac{3}{4} \leq xy \leq 1 $

Dấu $= max $  tại $x=y = 1$

Dáu $ = min $ tại $ x=-y = \sqrt{3}{2}$ và hoán vị

@MoMo123 : Mình đã gõ lại công thức giúp bạn, mong bạn sẽ không tái phạm, thân :) 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 04-05-2019 - 22:02
Không gõ công thức Toán


#10
Monkey Moon

Monkey Moon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

câu 1 , ta nhân căn bậc 4 của 4 vào 2 vế

ở VT có a^3 ( a+b+c ) > a^4 =>  căn bậc 4 của 4  * VT > 4 => dfcm

mình hiểu ý bạn nhưng bạn trình bày rõ đoạn căn bậc 4 của 4  * VT > 4   được không



#11
EstarossaHT

EstarossaHT

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

mình hiểu ý bạn nhưng bạn trình bày rõ đoạn căn bậc 4 của 4  * VT > 4   được không

 

mình ko bik gõ dấu, nhưng bạn cứ nhân vào để trong cái căn bậc 4 của a thành căn bậc 4 của 4a = (a+b+c)a đấy



#12
Monkey Moon

Monkey Moon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

Ai giải chi tiết cho mình với, bài 10 và bài 3 với



#13
Monkey Moon

Monkey Moon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

câu 3 nhân cả tử cả mẫu với x => Cauchy

chi tiết hộ mình với bạn ơi



#14
Monkey Moon

Monkey Moon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

bài 8 sao chưa ai làm vậy, mọi người giúp mình bài 8 nữa được ko 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Monkey Moon: 04-05-2019 - 16:31


#15
Love is color primrose

Love is color primrose

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Bài 8;

Có $x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$

Lại có A$=(4x^{5}+4x^{4}-5x^{3}+5x-2)^{2}+2015=((4x^{2}+4x-1)(x^{3}-x+1)-1)^{2}+2015=(-1)^{2}+2015=2016$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Love is color primrose: 04-05-2019 - 20:41

ayanamy -sama :wub:  :wub:  :wub: 


#16
WaduPunch

WaduPunch

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 40 Bài viết

Bài 2:

Ta có: ĐK: $x, y\geq 0$

$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=x^2+y^2<=>x(\sqrt{1-y^2}-x)+y(\sqrt{1-x^2}-y)=0<=>x\frac{1-y^2-x^2}{\sqrt{1-y^2}+x}+y\frac{1-y^2-x^2}{\sqrt{1-x^2}+y}=0<=>(1-x^2-y^2)(\frac{x}{\sqrt{1-y^2}+x}+\frac{y}{\sqrt{1-x^2}+y})=0$ 

mà $x, y\geq 0$ $<=>x^2+y^2=1$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$x^{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\geq 4\sqrt[4]{\frac{x^2}{8}}=\frac{4}{\sqrt[4]{8}}\sqrt{x}<=>x^2+\frac{3}{2}\geq \frac{4}{\sqrt[4]{8}}\sqrt{x}$

$y^2+\frac{3}{2}\geq \frac{4}{\sqrt[4]{8}}\sqrt{y}$

$<=> x^2+y^2+3\geq \frac{4}{\sqrt[4]{8}}A<=>4\geq\frac{4}{\sqrt[4]{8}}A<=>\sqrt[4]{8}\geq A<=>maxA=\sqrt[4]{8}$

Dấu "=" xảy ra $<=>x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Mặt khác: Vì $x^2+y^2=1<=>0<x,y<1<=> \sqrt{x} \geq x^2, \sqrt{y} \ geq y^2$

nên $A \ geq x^2+y^2=1<=> minA =1$

Dấu "=' xảy ra $<=> x=1, y=0$ hoặc $x=0, y=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WaduPunch: 04-05-2019 - 23:40


#17
WaduPunch

WaduPunch

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 40 Bài viết

Bài 7:

Ta có: ĐK : $x,y \geq -2$

 $\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3<=>\sqrt{x+2}-\sqrt{y+2}+x^3-y^3=0<=>\frac{x-y}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}+(x-y)(x^2+xy+y^2)=0<=>(x-y)(\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}+x^2+xy+y^2)=0$

mà $\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}+x^2+xy+y^2 > 0$ nên $x=y$

Khi đó:$A=x^2+2x+2106=(x+1)^2+2105 \geq 2105$

nên $minA = 2105$

Dấu "=" xảy ra $<=>x=y=-1$ (THỎA MÃN ĐKXĐ)

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WaduPunch: 04-05-2019 - 23:58


#18
Monkey Moon

Monkey Moon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

câu 3 nhân cả tử cả mẫu với x => Cauchy

Bạn không đánh công thức ra cũng được nhưng ít nhất bạn hãy giải thích cho mình là dùng cauchy thế nào được không

#19
Love is color primrose

Love is color primrose

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Có $\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{2x^{3}}{2\sqrt{x^{2}(1-x^{2})}}\geq \frac{2x^{3}}{x^{2}+1-x^{2}}=2x^{3}$

Tương tự ....

Nhưng không có dấu = đâu


ayanamy -sama :wub:  :wub:  :wub: 


#20
Monkey Moon

Monkey Moon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

Có $\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{2x^{3}}{2\sqrt{x^{2}(1-x^{2})}}\geq \frac{2x^{3}}{x^{2}+1-x^{2}}=2x^{3}$
Tương tự ....
Nhưng không có dấu = đâu

Cảm ơn bạn, bạn giúp mình c5 được không





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: toán 9, đại số

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh