Chủ đề này có 1 trả lời

[blink04]

Cho a,b,c >0 CMR  $\sqrt{\frac{a^{3}}{b^{3}}} +\sqrt{\frac{b^{3}}{c^{3}}} +\sqrt{\frac{c^{3}}{a^{3}}} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

  

[WaduPunch]

Ta có  Đặt $\sqrt{\frac{a}{b}}=x,\sqrt{\frac{b}{c}}=y,\sqrt{\frac{c}{a}}=z => xyz=1$

Ta cần chứng minh: $x^3+y^3+z^3 \geq x^2+y^2+z^2<=> 3(x^3+y^3+z^3)^2 \geq 3(x^2+y^2+z^2)^2$ ( do $x,y,z>0$)

Thật vậy: Áp dụng BĐT Holder ta có :$(x^3+y^3+z^3)(x^3+y^3+z^3)(1+1+1) \geq (x^2+y^2+z^2)^3$

Mặt khác: Áp dụng BĐT AM-GM ta có: $x^2+y^2+z^2 \geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3$

Ví thế $(x^3+y^3+z^3)(x^3+y^3+z^3)(1+1+1) \geq 3(x^2+y^2+z^2)^2 =>$ đpcm