Cho số phức z không phải số thực và $\frac{z^{2}-2z+4}{z^{2}+2z+4}$ là số thực. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn:
$\left | z+\bar{z} \right | +\left | z-\bar{z} \right | = \left | z^{2} \right |$
Cho số phức z không phải số thực và $\frac{z^{2}-2z+4}{z^{2}+2z+4}$ là số thực. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn:
$\left | z+\bar{z} \right | +\left | z-\bar{z} \right | = \left | z^{2} \right |$
Cho số phức z không phải số thực và $\frac{z^{2}-2z+4}{z^{2}+2z+4}$ là số thực. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn:
$\left | z+\bar{z} \right | +\left | z-\bar{z} \right | = \left | z^{2} \right |$
Đặt $z=a+bi$ (với $b\neq 0$ vì $z\notin \mathbb{R}$)
$\frac{z^2-2z+4}{z^2+2z+4}\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{4z}{z^2+2z+4}\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{z^2+2z+4}{z}\in\mathbb{R}\Leftrightarrow z+\frac{4}{z}\in\mathbb{R}$
$\Leftrightarrow a+bi+\frac{4}{a+bi}\in\mathbb{R}\Leftrightarrow a+bi+\frac{4(a-bi)}{a^2+b^2}\in\mathbb{R}\Leftrightarrow b(a^2+b^2-4)=0\Leftrightarrow a^2+b^2=4$
$|z+\overline{z}|+|z-\overline{z}|=|z^2|\Leftrightarrow 2a+2b=|a^2-b^2+2abi|=\sqrt{(a^2-b^2)^2+4a^2b^2}=a^2+b^2$
Từ đó ta có :
$\left\{\begin{matrix}b\neq 0\\a^2+b^2=4\\2(a+b)=a^2+b^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b\neq 0\\a^2+b^2=4\\a+b=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=0\\b=2 \end{matrix}\right.$
Vậy chỉ có $1$ số phức thỏa mãn điều kiện đề bài là $z=2i$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh